THÉORIE DES CIMBIRA1SORS

4 à 4. . dans tous les ordres possibles, de manière toutefois que , dans chaque résultat , le nombre des lettres soit moindre que celui des lettres données , on peut demander l’expression du nombre total des résultats que l’on obtient ainsi. Ces résultats sont ce qu’on appelle des arrangement.

Ainsi , ah, ac, ad, • . ha, bc , bd, . . . ca, cb, cd , • . sont des arran— gemens 2 à 2 des m lettres.

De même , abc, abd, . . bac, bad, . , acb, acd, . . sont des arrangcniens 8 à 3 . . •

Enfin , lorsqu’on dispose ainsi les lettres les unes à la suite des autres, 2 à 2, 3 à S, 4 à 4. .., on peut exiger que deux quelconques des résultats que l’on forme ne soient pas composés des mêmes lettres , c’est-à-dire qu’ils diffèrent entre eux au moins par l’une des lettres ; et l’on peut demander alors le nombre total des résultats qu’on obtient ainsi. Dans ce cas, les résultats prennent le nom de combinaisons.

Ainsi , ab, ac, bc, . . ad, bd, . . sont des combinaisons 2 à 2, en tant que deux quelconques des résultats diffèrent au moins par l’une des lettres.

De même, abc, abd,.. acd , bcd ,.. sont des combinaisons 8 à 3. . .

11 existe donc une différence essentielle dans la signification des mots ‘permutation , arrangement et combinaison.

On donne le nom de permutations aux résultats qu’on obtient en disposant les unes à la suite des autres , et dans tous les ordres possibles , un nombre déterminé de lettres , de manière que toutes les lettres entrent dans chaque résultat, et que chacune n’y entre qu’une fois.

Le non d’ ahb argebers s’applique aux résultats qu’on obtient en disposant les unes à la suite des autres , et dans tous les ordres possibles, 2 à 2, 3 à 3, 4 à 4 .... n à n, un nombre m de lettres ; m étant > n, c’est-à-dire le nombre des lettres qui entrent dans chaque résultat étant moindre que le nombre total des lettres considérées. Si, cependant, on supposait n=m, les arrangemens n à n deviendraient de simples permutations.

Enfin , on appelle cobbiraisors les arrangemens dont deux quelconques diffèrent entre eux au moins par l’une des lettres qui y entrent.

THÉORIE DES COHUIIIAISOVS.

Il est important que les élèves se pénètrent bien de ces définitions, pour entendre la résolution des problèmes suivans.

145. Premier problème. Déterminer le nombre total des perdutatiohs dont n lettres sont susceptibles.

D’abord, deux lettres a et b donnent évidemment les deux permutations ab et ba. Ainsi, le nombre des permutations de deux lettres est 2, ou 1 X 2.

Soient actuellement 3 lettfes, a, b , c. Mettons à part une quelconque de ces lettres, c par exemple, et écrivons à la droite des deux arrangemens ab et ba que donnent les deux autres , la lettre c; il en résulte les deux permutations de trois lettres, al/c, bac. Or, comme on peut ainsi mettre à part chacune des trois lettres, il s’ensuit que le nombre total des permutations de trois lettres est égal à 2 X 3 , ou 1x2x3 (*).

En général, soit un nombre n de lettres, a, b, c,d ..., et supposons déjà connu le nombre total des permutations de ( n — 1 ) lettres, nombre que nous désignerons par Q.

Considérons à part une des n lettres , et écrivons cette lettre à la droite de chacune des Q permutations que donnent les (n — 1) autres lettres, il en résulte Q permutations de n lettres, terminées par la lettre que l’on avait d’abord isolée. Or, comme on peut ainsi mettre à part chacune des n lettres, il s’ensuit que le nombre total des permutations de n lettres est égal à Qx».

Soit n = 2, Q désigne alors le nombre des permutations qu’une seule lettre peut donner; donc, Q= 1 , et il vient, dans ce cas particulier, Qxn=lxl

Soit n = 3 , Q exprime alors le nombre des permutations de (3 — 1), ou de 2 lettres, et est égal à 1x2. Ainsi, Q x n se réduit à 1 x 2 x 3. v

Soit encore n = 4, Q désigne, dans ce cas, le nombre des

’ Il

(*) La place que nous avons assignée à la lettre c, par rapport aux arrangemens ab ,ba , est de pure convention. Nous aurions pu également convenir de faire occuper à la lettre c la première place à gauche , ou même de l’écrire entre les lettres a et b ou b et a ; mais cette place une fois assignée, elle doit rester invariable pour toutes les permutations à exécuter; sans quoi il en résulterait des répétitions.