THÉORIE ORS COMBINAISONS

permutations de 3 lettres, et est égal à 1x2x3. Donc Qx n devient Ix2x3x4.

On voit donc que la formule Qxn renferme tous les cas particuliers du problème proposé. Ainsi, en reprenant les raisonnemens ci-dessus , on peut résoudre immédiatement le cas général , sauf à en réduire ensuite tous les cas particuliers.

146. Second problème. Un nombre m de lettres a, b, c, d,. . étant donné, déterminer le nombre total des arbanoemens n à n, que Von peut former avec ces m lettres, m étant supposé plus grand que n.

Pour résoudre sur-le-champ cette question générale, supposons déjà connu le nombre total des arrangemens (n— 1) à (n — 1) que l’on peut faire avec les m lettres ; et désignons ce nombre par P.

Considérons un quelconque de ces arrangemens et écrivons à sa droite chacune des lettres qui n’y entrent pas et dont le nombre est nécessairement m — (n — 1 ) ou m — » + l;il est évident que l’on formera ainsi un nombre m — 7i + 1 d’arrangemens de n lettres , différant tous entre eux par la dernière lettre.

Considérons un nouvel arrangement de n — 1 lettres , et écrivons à sa droite les m — n + 1 lettres qui n en font pas partie ; nous obtiendrons encore un nombre m — n+ 1 d’arrangemens de n lettres , différant tous entre eux et différant des précédens, au moins par la disposition d une des n 1 premières lettres. Comme d’ailleurs on peut considérer à part chacun des P arrangemens (n — 1) à(n — 1), et écrire successivement à sa droite les m — n+ I autres lettres, il s’ensuit que le nombre total des arrangemens de m lettres n à n , est exprimé par

Veut-on maintenant trouver, comme cas particulier, le nombre total des arrangemens de m lettres 2à2,3à3,4à4....?

Faisons 71 = 2, d’où m — n+l—m — 1; P exprime dans ce cas le nombre total des arrangemens (2 — 1) à (2 — 1), ou l à 1 , et est, par conséquent, égal à m; donc, la formule devient m ( m — 1 ).

Soit n = 3, d’où m — 7i+l = 7n — 2; P exprime alors le

THÉORIS DES COMBITU1SOHS.

nombre des arrangemens 2 à 2 , et est égal à m ( m — 1 ) ; donc , la formule devient m(m — 1 )(m — 2).

Soit encore n = i, d’où m — n+l=m — 3; P exprime le

nombre des arrangemens 3 à 3, ou est égal à m(m — l)(m 2);

donc la formule devient m{m — 1 )[m — 2) (m — 3). Et ainsi de suite. .

N. B. D’après la manière dont les cas particuliers ont été déduits de la formule générale , P ( m — n + 1) , on peut conclure que cette formule développée revient à

m(m — 1) ( m — 2 ) (m — 3 )....( m — jj+1 );

c’est-à-dire quelle te compote du produit det n nombret consécutifs et décroittant , qui se trouvent comprit depuis m inclusivement jusqu’à m — (n — l],#«m — n + l, aussi inclusivement.

Cela posé, il est facile de déduire de cette formule développée, la formule du n° précédent, c’est-à-dire la valeur de Q x n aussi développée.

En effet, on a vu (n° 144) que les arrangement deviennent des permutations lorsqu’on suppose le nombre des lettres qui entre dans chaque arrangement, égal au nombre total des lettres considérées.

Ainsi , pour passer du nombre total des arrangemens de m lettres n à n, au nombre de permutations de n lettres, il n’y a qu’à faire, dans le développement ci-dessus, m—n; ce qui donne

n(« — 1)(« — 2)(re — 3).... 1.

Renversant l’ordre des facteurs et observant que le dernier facteur étant 1, l’avant-dernier est 2, le précédent 3 . . . , on obtient, pour le développement de Q x n,

expression dont les facteurs ne sont autre chose que les nombres entiers consécutifs, compris depuis 1 inclusivement jusqu’à n inclusivement. .

147. Troisième problème. Déterminer le nombre total det combinaisons différentes que l’on peut former avec m lettres prises n à n.

Désignons par X le nombre total des arrangemens n à n que l’on peut former avec m lettres , par Y le nombre des permufa-

THÉORIE DES COMBISilSONS.

fions dont n lettres sont susceptibles, enfin, par Z le nombre total des combinaisons différentes n à n, nombre qn’il s’agit de déterminer.

Il est évident que, pour obtenir tous les arrangemens possibles de m lettres n à n, il suffirait de faire subir aux n lettres de chacune des Z combinaisons toutes les permutations dont ces lettres sont susceptibles. Or une seule combinaison de n lettres donne, par hypothèse, Y permutations; donc, Z combinaisons de n lettres doivent donner Y x Z arrangemens «à»; et comme on a d’ailleurs désigné par X le nombre total des arrangemens , il s’ensuit que les trois quantités X, Y, Z, sont liées entre elles

par la relation X= Y x Z ; d’où l’on déduit Z= ^ .

Mais on a trouvé (n“ 146)

et (n° 14S)

Donc enfin , Z :

Y = Qx «.

Qxn

Comme P exprime le nombre total des arrangemens (n — I) à

J qtte Q exprime le nombre total des permutations de

(n— 1) lettres, il s’ensuit que g exprime le nombre des combinaisons différentes de m lettres (re — l)à(» — 1).

D’après cela, soient demandés, comme cas particuliers, les nombres de combinaisons 2à2,3i)8,4à4...

Faisons n = 2, auquel cas, g exprimant le nombre des combinaisons ( 2 — 1 ) à ( 2 — 1 ) , ou 1 à. 1 , est égal à m ; la formule , . . m — 1 m[m — 1)

ci-dessus devient m x — ^ — ou f72 *

Faisons n — 3, auquel cas g exprime le nombre des combinaisons 2 à 2, ou est égal àOT(wt~*,). la formule devient m(m — 1)(”* — 2)

lilKOME DE XEWT05. •

-On trouverait de même

pour le

nombre des eombinaisons 4 à 4, etc,..; et en généra), pour le nombre des combinaisons n à », on a

m ( m — 1 ) (m — 2 ) (ot — 3 ) . . .( m — n+1)

c’est l’expression ^ ^ ^ ^ développée. >

N. B. Cette dernière expression n’a aucune signification lorsqu’on y suppose n =1 ; et cela tient à ce qu’elle ne donne un certain nombre de combinaisons inconnu qu’en fonction d’un autre nombre de combinaisons déjà déterminé ; or les combinaisons les plus simples sont les combinaisons une à une dont le nombre est m. Ce n’est donc qu’à partir de n = 2 que la formule est applicable.

148. Démonstration de la formule du binôme . Pour découvrir plus aisément la loi du développement do la puissance miimc du binôme x + a , nous commencerons par observer la loi du produit de plusieurs binômes t + a, x + b, x + c, x + d. . . , ayant un premier terme commun , et dont les seconds termes sont dififérens. ( Cet artifice a pour but d’empêcher la réduction des termes semblables. )

1er produit.

x + ab

ab + ac + bc

x + abc

£3+ ab

x 2 •+■ abc

+ ac

+ abd

+ ad '

+ acd

| + bc

+ bcd

+ bd

+ cd

x + abcd.

BISOXE DE SEWTOS.

Ces multiplications étant effectuées d’après les règles ordinaires de la multiplication algébrique, on reconnaît, sur les trois produits qui précèdent , la loi suivante :

1° Par rapport aux exposans , l’exposant de x est d’abord égal au nombre des binômes multipliés. Cet exposant diminue ensuite d’une unité d’un terme au suivant, -jusqu’au dernier terme , où il est égal à zéro.

2° Par rapport aux coefficiens des diverses puissances de x, le coefficient du premier terme est l’unité; le cofficient du second terme est égal à la somme des seconds termes des binômes; le coefficient du troisième terme est égal à la somme des produits différées de ces mêmes seconds termes, multipliés deux à deux; le coefficient du quatrième terme est égal à la somme des produits différens trois à trois. En nous laissant conduire par l 'analogie, nous pouvons dire que le coefficient d’un terme qui en a n avant lui est égal à la somme des produits différens n à n des seconds termes des binômes. Enfin, le dernier terme est égal au produit des seconds termes des binômes.

Pour nous assurer si cette loi de composition est générale, supposons qu’elle soit déjà reconnue vraie pour le produit d’un nombre m de binômes , et voyons si elle a lieu lorsqu’on introduit . un nouveau facteur dans le produit.

Soit donc

xm -f Axm— ■ + Bx™— » -f Cxm~ 3 + . . .Mxm— + Nx"1 -P . . . + U ,

le produit de m facteurs binômes ( Nx’”— " représente un terme qui en a n avant lui, et celui qui le précède immédia-

tement).

Soit d’ailleurs x + K le nouveau facteur introduit; on a pour le produit ordonné

q. Ajxm-f B |xm— 1 +C lxm— " + ... + N |xm—

+k| +Ak| +BK| +MK| +UK.

Déjà , la loi de* exposant est évidemment la même.

Quant aux coefficiens, 1° celui du premier terme est V unité ;

2° A + K, ou le coefficient de xm, est aussi la somme des seconds terme * de* { m + 1 ) binômes.

3” B est, par hypothèse, égal à la somme des produits diffé-