BINOME DE NEWTON

rens 2 à 2 des seconds termes des m premiers binômes ; AK exprime la somme des produits de chacun des seconds ternies des m premiers binômes, multipliée par le nouveau second terme K; donc, B + AK est encore la somme des ‘produit* différons deux à deux des seconds termes des ( m + 1 ) binômes.

En général , puisque N exprime la somme des produits n à n des seconds termes des m premiers binômes , et que MK représente la somme des produits (n — 1) à (n — 1) de ces seconds termes, multipliés par le nouveau second terme K , il s’ensuit que N + MK, ou le coefficient qui, dans le polynôme de degré (*»+l), en a n avant lui, est égal à la somme des produits différons non des seconds termes des (in + 1 ) binômes. Le dernier terme UK, est d’ailleurs égal au produit des (m + 1) seconds termes.

Ainsi la loi de composition, supposée vraie pour le produit d’un nombre m de binômes, l’est aussi pour un nombre (jb + 1); donc, elle est générale.

Concevons actuellement que, dans le produit effectué de m facteurs binômes, x + a, x + b, x + c, x + d,. on fasse

a = b—c=d , l’expression indiquée de ce produit (x+a)

(x+4) (x + e) (x+d)... se change en (x + o)'". Quant à son développement , les coefficiens étant a + b + c + d + . . . , ab + ac+ad+ . . abc + abd-\-acd+ ., 1° le coefficient de xm— 1 ,

ou a+A+c+ devient a+o+a-f- i. ., c’est-à- dire a

pris autant de fois qu’il y a de lettres a, b , c. . ., et se réduit, par conséquent, à ma.

2° Le coefficient de xm— >, ou ab + ac + . . . , se réduit à a’+a’-J-aV. . ou bien , à autant de fois a 2 que l’on peut former de combinaisons différentes avec m lettres multipliées 2 à 2 , ou bien enfin (n° 147),

3° Le coefficient de x"‘- se réduit au produit de a3 multiplié par le nombre de combinaisons différentes de m lettres prises

3 à 3, ou bien, à m.

et ainsi de suite.

En général , si l’on désigne par Nx"'-" le terme qui en a un nombre n avant lui, le coefficient N qui, dans l’hypothèse où les seconds termes des binômes sont différens , est égal à la somme de leurs produits n à n, se réduit, lorsqu’on les suppose tous

B1X0ME DE REWTOR.

égaux , à an multiplié par le nombre des combinaisons différentes que peuvent donner m lettres prises n à n. Ainsi ( n" 147 ),

Donc enfin, l’on a la formule

( x + a )"» = xm + max’"—' + m — - — a2x’”— 2

+ m — r — . — r — a3xm -3,., q — - — — a*x,n- . ■+■ am.

149. Pour peu que l’on jette les yeux sur les différens termes de ce développement, ou reconnaît une loi «impie d’après laquelle un coefficient de rang quelconque se forme au moyen du coefficient précédent.

Le coefficient d’un terme de rang quelconque te forme en multipliant le coefficient du terme précédent par l’exposant de x dans ce terme , et divisant le produit par le nombre des termes qui précèdent celui que l’on considère.

En effet , prenons le terme général, anxm—n ( on

Pappelle terme général, parce qu’en faisant successivement » = 2,3,4 ... on peut en déduire tous les autres ) ; le terme qui

le précède d’un rang est évidemment q an—'xm—n-*-' , puisque p -

(n° 1 47) -y exprime le nombre de combinaisons (n — 1 ) à (n — 1 ). Or on voit que le coefficient — est égal au coefficient

q qui le précède, multiplié par (m — n+ 1) , exposant de x dans

ce terme , et divisé par n , nombre des termes qui précèdent celui que l’on considère. C’est dans cette loi, due à Newton, que consiste principalement la formule du binôme. Elle sert à développer une puissance particulière, sans qu’on soit obligé d’avoir recours à la formule générale.

Soit, par exemple, proposé de développer (x + a)6. On trouvera , d’après cette loi ,

(.r 4- o)6= 4- 6ox5.+ 1 5 + 20o3xî + 1 '&at>x’‘ +6a5j + a'’ •