CONSÉQUENCES DE LA FORMULE OU BINOME

Après avoir formé les deux premiers termes , ce qui n’offre aucune difficulté, d’après les termes de In formule générale xm + maxm— ' + . . ., on multiplie 6, coefficient du second terme, par 5, exposant de x dans ce terme , puis on divise le produit par 2, ce qui donne 15 pour coefficient du troisième terme. Pour obtenir celui du quatrième, on multiplie 15 par -4 , exposant de x dans le troisième terme , et on divise le produit par 3 , nombre des termes qui précèdent le quatrième, ce qui donne 20 ; et ainsi de suite, pour tons les autres termes.

On trouverait pareillement

(x + a) 1 0 = x'* + 1 0ox9 + 4 5a’x8 + 1 20a3x7 +21 0a4x6 + 252a5x5 + 210a6x4+ 120a7x3 + 45a8xJ + lOaSx.+ o10.

Nous reviendrons plus loin sur la manière de développer les puissances des expressions algébriques.

Consdquônces de la formule du binôme et de la théorie des combinaisons.

150. Première conséquence. L’expression (x + a)m, étant composée de la même manière en a et en x, la même chose doit avoir lieu pour son développement; donc, si ce développement renferme un terme de la forme Ra"x”-”, il doit en avoir un. autre égal à K xnam—n ouRa’”- "x^.Oes deux termes y sont évidemment à égale distance des deux extrêmes : car le nombre des termes qui précèdent un terme quelconque étant marqué par l’exposant de a dans ce terme, il s’ensuit que le terme Rav-" en a n avant lui, que le terme R a’n~nxn en a un nombre m — n avant lui, et par conséquent n après lui (puisque le nombre total des termes cst/re+l).

Ainsi, dans le développement de toute puissance d'un binôme, les coejjiciens à égale distance des deux extrêmes sont égaux entre eux.

N. B. Dans les termes Ra"x’"-", Ra"'— "x", les deux coefficiens expriment les nombres de combinaisons différentes n à n et m — n à m — n , que l’on peut former avec m quantités; ainsi, l’on peut encore conclure que le nombre de combinaisons différentes de m quantités n à n , est égal au nombre de combinaisons (m — n) à (m — n) de ces mêmes quantités.

COIISSQliENCES DE LA FORMULE DU BINOME.

Par exemple , douze quantités combinées B à S donnent le même nombre de combinaisons que ces douze quantités combinées (12 — 8) à (12 — 5), ou 7 à 7. Cinq quantités combinées 2 à 2 , donnent le même nombre de combinaisons que cinq quantités combinées (B — 2) à (5 — 2) , ou 3 à 8.