Seconde conséquence. Si, dans la formule générale

(x + a.)"' = .r"' + maxr"—1 + m

aixn 1 — 24. etc.,

on suppose x=l, a=l, elle devient

(l + l)m bu 2"»=: 1 +m + m — (- m — - — . — - — + etc. ;

À Je O

c’est-à-diré que la somme des coefficiens des dijjferens termes de la formule du binôme est égale à une puissance de 2 , d’un degré marqué par m.

Ainsi, dans la formule particulière

(•r+a)-5=.rs + 5a.r4 + lOa’x3 + lOa^x’ + Sa'Sx+tt5,

la somme 1+5+ 10+ 10 + 5 + 1 des coefficiens, est égale à 25ou 32. Dans la dixième puissance développée n° 149, la somme des coefficiens est égale à 2‘° ou 1024.

152. Troisième conséquence. Si Ton a une suite de nombres décroissant d’une unité d’un terme à l’autre, dont le premier soit m et le dernier m — p ( m etp sont des nombres entiers), que l’on fasse un seul produit de tous ces nombres , ce produit est divisible par le produit de tous les nombres entiers depuis 1 jusqu’à p+1. C’est-à-dire que l’on a

égal à un nombre entier. En effet, il résulte de ce qui a été dit au numéro 147, que cette expression représente le nombre des combinaisons différentes (p+1) à (p+1), qu’on peut former avec m lettres. Or, ce nombre de combinaisorts doit être, par sa nature, un nombre entier; donc l’expression ci-dessus est nécessairement un nombre entier.

Nous engageons les élèves à rechercher , de cette propriété , une démonstration indépendante de la Théorie des combinaisons