II. EXTRACTION DES RACINES DES NOMBRES PARTICULIERS

Les procédés particuliers de l’extraction de la racine carrée et de la racine cubique d’un nombre ayant été exposés avec détail dans notre Arithmétique , nous nous contenterons de développer ici le procédé de l’extraction des racines en général , procédé qu’il sera ensuite facile d’appliquer aux Cas particuliers de l’extraction de la racine 4®* 5®, . . .

163. Procédé de la racine niime d’un nombre entier (*). Désignons par N un nombre entier quelconque , et par n le degré de là racine qu’on veut en extraire.

D’abord, comme la niime puissance de 10, ou 10", est exprimée par l’unité suivie de n zéros et représente le plus petit nombre de n -+■ 1 chiffres , il s’ensuit que , si N n’a pas plus de n chiffres , sa racine n’a qu’un seul chiffre ; et pour l’obtenir , il suffit de former les «<«»« puissances des dix premiers nombres 1,2, 3 . . . 9,10 ; le plus petit des deux nombres dont les »«"•« puissances comprendront N, sera la racine demandée.

Mais lorsque N est composé de plus de n chiffres , sa racine a plus d’un chiffre et peut alors être regardée comme renfermant des dizaines et des unités. Or , en représentant par a les dizaines et par b les unités , on a (n° 148)

N’=(o + 4)" — a" + nan— >b+n — - — an~*b1+ . . .,

Jl

c’est-à-dire que le nombre proposé contient la n‘‘me puissance des dizaines, plue n fois le produit do la ( n — 1 puissance des

(*) Pour bien comprendre ce procédé, il faut s’être déjà rendu compte de» deux procédés de la racine carrée et de la racine cubique.

, offre plus de difficulté- dans le cas

EXTRACTION DES RACINES

dizaines par les unités , plus une suite d’autres parties qu’il est inutile d’énumérer.

Cela posé , la nième puissance des dizaines ne pouvant donner d’unités d’un ordre inférieur à l’unité suivie de n zéros, les n derniers chiffres à droite n’en peuvent faire partie ; il faut donc les séparer, et extraire la racine de la plus grande rx^’me puissance contenue dans la partie a gauche : cette racine exprime les dizaines de la racine cherchée (*).

Si cette partie à gauche renfermait encore plus de n chiffres, on serait conduit à en séparer les n derniers chiffres à droite, et à extraire la racine de la plus grande n'<?me puissance contenue dans la nouvelle partie à gauche ; et ainsi de suite.

Apres avoir partagé ainsi le nombre N en tranches de n chiffres ( la dernière tranche à gauche n’ayant que n chiffres au plus) , on extrait la racine de la plus grande nieme puissance contenue dans cette première tranche à gauche, ce qui donne le chiffre des unités de l’ordre le plus élevé de la racine totale , ou le chiffre des dizaines de la racine du nombre formé par les deux premières tranches à gauche. Retranchant la n'«"e puissance de ce chiffre, de la première tranche a gauche, on obtient un reste qui, suivi de la seconde tranche , contient encore n fois le produit de la (n — 1 )'«<»« puissance du chiffre trouvé (lequel est censé exprimer des dizaines) par le chiffre suivant, plus une suite d’autres produits. Mais ce premier produit ne peut évidemment donner d’unités d’un ordre inférieur à ; ainsi les (n — 1) derniers

chiffres de la seconde tranche n’en sauraient faire partie. Il suffit donc à' abaisser à côté du reste correspondant à la première tranche, le premier chiffre de la seconde ; et si , après avoir formé n' fois la (n — lyème puissance du premier chiffre de la racine, on divise parce résultat, le reste suivi du premier chiffre de la seconde tranche, le quotient exprimera le second chiffre de la racine, ou un nombre plus grand. Pour éprouver ce chiffre , on l’écrira à la droite du premier, puis on élèvera l’ensemble de ces deux chiffres à la aieme puissance, et l'on retranchera , si cela est possible, la puissance

(*) Voyez la démonstration de ce principe, pour la racine carrée et la racine cubique (Arith. u”‘ 182, 195, 1 1 * édition) ; vous généraliserez ensuite.