PAR APPROXIMATION

obtenue , de l’ensemble des deux première» tranches (*), ce qui donnera un nouveau reste à côté duquel on abaissera le premier chiffre de la troisième tranche, puis on divisera le nombre, ainsi formé par n fois la (n — 1 )iime puissance de F ensemble des deux chiffres déjà trouvés à la racine ; ce qui donnera le troisième chiffre de la racine.

On continuera cette série d’opérations jusqu’à ce qu’on ait abaissé toutes les tranches.

145. Soit proposé, pour exemple, d’extraire la racine cinquième • de 550731770. .

Après avoir séparé les cinq derniers chiffres à droite, du nombre proposé, on reconnaît que (5)s, ou 3125, et (Q)s, ou 7776, comprennent 5507 ; donc Sexprime les dizaines de la racine cherchée.

Retranchant 3125 de 5507, on obtient le nombre 2382 pour reste, à côté duquel on abaisse le chiffre 3 de la première tranche à droite, ce qui donne 23823, nombre que l’on diviseyiar 5 fois la 4' puissance de 5, ou par 3125. Le quotient est 7 ; mais en élevant 57 à la 5° puissance, on obtient 601692057, nombre plus fort que le nombre proposé. Essayant 56 , on trouve

ainsi 50 est la racine demandée.

On obtiendrait pareillement

j/ 924055 = 18, avec le reste 200887 ;

1/11167913018807 = 407 exactement;

1/94931877133=37 exactement.

(*) Nous n'avons pas besoin de dire que, si la soustraction ne peut se faire, c’est que le second chiffre trouvé à la racine est trop fort ; et alols on le diminue d'une ou de plusieurs unités, jusqu’à ce que la soustraction puisse s'effectuer.

EXTRACTION DES RACINES

185. Remarque. Toutes les fois que le degré de la racine à extraire est un nombre multiple de deux ou de plusieurs autres, comme 4,6...., la racine peut t’obtenir par une suite d’extraclions de racines de degrés plus simples.

Pour nous rendre compte de ces modifications , remarquons que

(a3)'* = a3 X a3 x a3 x a3==a3+3^~3'♦"3==a3X'^=ra,,,

et qu’en général, [am)n=zam x am x am x am . . . = amXn (n° 16). Donc , la niin,e puissance de la m,<?me puissance d’un nombre est égale à la mnIOT' puissance de ce nombre.

Réciproquement , la racine mn'™ d’un nombre est égale à la racine n‘®me de la racine ra.‘cmc de ce nombre, ou algébriquement,

je dis que l’on a En effet, soit .

élevons les deux membres à la nième

puissance; il vient [/a =a'n ; •

[car, d’après la définition d’une racine (n° 2), on a (i/K),, = K].

Élevant de nouveau les deux membres à la miime puissance, on obtient a—[a'")m—a'mn;

mn

d’où, extrayant la racine mnième des deux membres , y' a— a' ;

\ / m mn \ / m ' mais on a,déjà y y/a — a,'] donc. . . .y/a—v \/ a.

N. B. Comme (am)n et (o")m donnent également amn, on peut

en conclure