PAH APPROXIMATION

On trouvera , d’après ce principe ,

l/2985984=V/ V 2985983 = V/Vm= 12 ;

V/I67961ft=\/ V 1/1296 = 1/16 =6.

N. B. Quoique les racines successives puissent s’extraire dans un ordre quelconque, il est préférable d’extraire d’abord la racine du degré le plus faible , parce qu’alors l’extraction de la racine du degré le plus fort , qui est une opération plus compliquée , porte sur un nombre ayant beaucoup moins de chiffres que le nombre proposé. C’est ce que nous avons fait dans le second et le troisième des exemples ci-dessus. ( V oyez d’ailleurs le premier N. B. de ce numéro.)

Extraction des racines par approximation.

156. Lorsque le nombre entier dont on demande la racine nième n’est pas une puissance parfaite , le procédé du n° 153 ne donne que la partie entière de la racine , ou la racine à une unité près. Quant à la fraction qui doit compléter la racine , elle ne peut être obtenue exactement; car on sait ( Arithmétique n° 134 , 11° édition) que, a et b désignant les deux termes d’une

fraction irréductible j , an et bn sont aussi premiers entre eux ;

ainsi

an

ou ^ pe peut produire un nombre entier N, c’est-à-

dire que l/N ne saurait être exprimée par un nombre fractionnaire exact Mais on peut déterminer la racine avec tel degré

d’approximation que l’on veut.

Soit, en général, proposé d’extraire la racine n'*mc d’un nombre

quelconque, entier ou fractionnaire, a, à une fraction près , -,

EXTRACTION DES RACINES

c’est-à (lire de manière que l’erreur commise soit moindre que .

fl X vn

Observons que a peut se mettre sous la forme -—f- . Si l’on

désigne par r la racine de ap" obtenue à une unité près, le nombre

a y. pn . , . . r» ,(r+l)n , *

— — ou a est alors compris entre — et — ; donc aussi ,

pn r Pn pn ’ ’

|/ a est compris entre les racines de ces deux derniers nombres,

c’est-à-dire entre - et . Donc enfin , - est la racine deman-

dée, à une fraction près ,

Règle générale. Pour extraire la racine n"m* d’un nombre

quelconque à une fraction près, - , multipliez le nombre par pn ;

extrayez le produit de la racine n'*meà une unité pris, puis divisez le résultat par p.

Nous renvoyons , pour les applications de cette règle générale, à notre Arithmétique, où nous avons exposé, avec tous les détails convenables, les différens modes d’approximation, tant pour la racine carrée que pour la racine cubique.

Mais il nous parait utile de donner ici quelques développemems sur la manière d’évaluer en décimales les expressions

te tn

renfermant des radicaux qui se recouvrent , tel que Vï*

a+\/b,etc .

187. Soit d’abord proposé A' extraire la racine sixième de 28 à 0,01 près.

En appliquant à cet exemple la règle du n° 186, il faut multiplier 23 par (100)6, ou écrire douze zéros à la droite de 23, puis extraire la racine sixième du nombre résultant, à une unité près , et diviser cette racine par 100 , ou séparer 2 chiffres décimaux vers la droite.

Mais on a (n° 188) ^23 x (100)6 = V |/23 X (100)6 ; ainsi , après avoir extrait la racine carrée de 23 x (100)6 à une unité