DES QUANTITÉS AI.GÈBRIQUES. CALCUL DES RADICAUX

Considérons d’abord lès quantités monomes.

> '* • *td. #

158. Soit à former la cinquième puissance de 2a3i’ ; on a (n° 2) (2a3£J)5 == 2a34’ x 2a3i3 x 2a341 x 2a34a x 2a34* ;

d’où l’on voit, 1° que le coefficient 2 doit être 5Jfois facteur dans le produit, ou doit y être élevé à la &ime puissance ; 2° que chacun des exposans des lettres doit être pris 5 fois., ou multiplié par 5.

Donc enfin, (2a3A1)î=25.û3XJ4ïXS =32a*s410.

De même, (8e’è3c)3==83.«’ x 343 x 3c3=5 1 2o6è9c3.

Ainsi , pour élever un monome à une puissance donnée , il faut élever le coefficient a cette puissance , puis multiplier chacun des exposans des lettres par V exposant de la puissance.

Donc réciproquement, pour extraire une racine de degré quelconque d’une quantité monome, il faut, 1°. extraire la racine du coefficient; 2" diviser l’exposant de chaque lettre par l’indice de la racine.

Ainsi, I//04 a»43e6 =4 o?èe4, j/ 16a34I,c^ =2aïè3ç.

On voit, d’après cette règle, que, pour qu’un monome soit une puissance parfaite du degré de la racine à extraire, il fant que son coefficient soit une puissance parfaite de.ee degré , et

UES QUANTITÉS ALGÉBRIQUES. 243

que les exposans des lettres soient divisibles par l'exposant on l 'indice de,la racine à extraire. Nous verrons, plus loin comment , on simplifie l’expression de la racine d’une quantité qui n’est pas une puissance parfaite. .

15^ Jusqu’à présent, nous n’avons pas eu égard au signe dont peut être affecté le monome ; mais si l’on observe que le carré d’un monome est toujours positif, quel que soit le signe de ce monome, et que toute puissance dé degré pair In, peut être regardée comme égale à la nü™ puissance du carré, c’est-à-dire que à,n=(a?)n , on peùt conclure que toute puissance de degré pair d’une quantité, soit positive, soit négative, est essentiellement positive. -

Ainsi (±2a,à3e)4!=r+ 16a8à‘V4. •• '

Comme , d’ailleurs , une puissance de degré impair (2n -f 1) , est le produit d’une puissance de degré pair 2 n, par la première puissance, il s ensuit que toute puissance de degré impair d’un monome est affectée du même signe que te monome.

Donc, (+4a3à)3= + 64a<ià3? (— 4a*J)3 = ^64a6à3! •’

Il est évident, d’après cela, 1° que toute racine de degré impair

d’unô quantité monome doit être affectée du même signe que la quantité.

Ainsi V + 8a3=+2a; |/ — ,8*3 =— 2a, V — S2a<®4*=— 2o‘4.

2° Que toute racine de degré pair d’un monome positif peut être affectée indifféremment du signe + ou du signe — . .

Ainsi, 1/81 a4à“ = ±3ai3, V <à\a'* = ± 2a3.

3° Que toute racine de degré pair d’un monome négatif est une racine impossible ; car il n’existe aucune quantité qui, élevée à une puissance de degré pair, puisse donner ,un résultat négatif. Ainsi,

* a’ Ÿ ^ Ÿ — c> sont des symboles d’opérations inexécutables ; ceson t des expressions imaginaires comme 1/ — «,!/■ b. ..

[V oyez n° 85.)

EXTRACTION DES RACINES

Considérons actuellement les polynômes.

160. Nous avons déjà vu comment on élève un binôme x+a à une puissance de degré quelconque ; mais il peut arriver que les termes du binôme soient affectés de coefficicns et d’exposaps.

Soit proposé, pour exemple, de développer (2a’-l-§ai)3 ; posons pour le moment, 2oa=x, 3aé=y; il vient

(2a’ + 8aà)3 s^x+y)3-— ,r3 + 3.r’y + 3.ry’ + y3. Remettant actuellement 2o3 et 3 ah au lieu de x et de y;

(2a’ + lab }3 = (2a’)3 + 3(2a’)’.(,W-) + 3(2a’).(3aà)a + (3 al? ;

ou, effectuant les calculs d’après les règles du n° 158 et de la multiplication desmonoraes,

(2a1 + 8aè)3 = 8a6 + 36a5é + 54a44 1 +27a343 .

On trouvera de même

(4 a’à — 3a4c)4 = (x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x’y’+4xy3 + y4 = (4a14)4 + 4(4a’à)3(- — 3a4c) + 6(4a’à)a( — 3 abc)* ,

( Les signes sont alternativement positifs et négatifs.)

Soit maintenant à développer (x + y + z)3 ; posons d’abord x + y = ny il vient ' ' ' . .

(u + r)3 = n3 + 3EM,+ 3 z’b + z3, ou, remplaçant u par sa valeur x+y, •

(*+y+z)3 = (x+y)3 + 3z(x+yy + Zs’(x+y) + z\ ' ou, développant de nouveau les calculs indiqués,

(x + y + z)3 = x3 + 3x*y + 3xy’ + y3 + flx’z + 6xyz + Sy’z + 3xz’ + 8yz’ +z3. ■

Cette expression se compose des cubes des trois termes, plus des triples carrés de chaque ferme par* les premières puissances des deux autres , plus du sextuple produit des trois termes. Cette loi serait (n° 86) facile à vérifier pour tout polynôme.

Pour appliquer la formule précédente au développement du cube d’un trinôme dont les termes auraient des coefficiens et des exposans , il faudrait, comme pour le$ binômes , désigner

DES QUANTITÉS ALGÉBRIQUES. 245

chaque terme par une seule lettre , développer, puis remplacer par leurs valeurs les lettres introduites , et effectuer tous les calculs indiqués. •

On trouvera, par ce moyen , tout calcul fait,

(2a’-* \al + 3é’)3 = 8a6— 48 asb + 1 32 a45>— 208a3i 3 + 1 98a’fi — 108ais + 2746.

On développerait, par des procédés analogues, les puissances quatrième, cinquième, etc., d’un polynôme quelconque'. ‘

161 . Passôns à V extraction des racines de degré quelconque des polynômes.

Appelons P le polynôme proposé , et concevons ce polynôme ordonné par rapport aux puissances descendantes d’une même lettre a. Désignons d’ailleurs par x +y+z + la racine cher-

chée, que l’on peut également supposer ordonnée par rapport à a.

En élevant o,+y+i + ..*. à la m‘eme puissance, et regardant

pour le moment, y+z + comme ne formant qu’un seuil terme,

on aura ‘ .

P, ou (x+ÿ+z+ . . .J* =*" +mx”-^*(ÿ+x+ . . .)

+ m — g— jf»«-*(y + E+ . . 4>

Or il est bien évident d’abord, d’après les principes de la multiplication algébrique , que le terme r”. du second membre de cette égalité doit renfermer un exposant de a plus élevé qu’aucun des autres termes de ce second membre, et ne, peut se réduire avec ceux-ci. Donc xm est égal au terme de P, affecté de la plus haute puissance de a; et par conséquent, si l’on extrait la racine ntume du premier terme de P, on obtiendra nécessairement le premier terme x de la racine.

Retranchant xm de P, et appelant R le reste, on trouve R, OU P — xm — thxm—t (y + z + u + . . .) m — 1

246 EXTRACTION DES RACINES

nouvelle égalité dans le second membre de laquelle le terme mxm— ■yne pourra'snbir de réduction arec les autres.

En effet , les termes y, y3, . . ... qui font partie des expressions affectées des parenthèses , renfermant respectivement "un exposant do la’ lettre a plus fort que les autres termes des expressions correspondantes il suffit de faire voir que le terme mxm—)y contient un exposant de la lettre a plus élevé que le terme général xm—nyn (dont il est d’ailleurs inutile de considérer ici le coefficient ).

Mais en comparant les deux quantités xm — xy et xm — nyn, que l’on pent mettre sous la forme

xm~ny .xn~i et xnl—"y.yn—1,

on voit qu’elles ont un facteur commun ret que des deux facteurs non communs r"-‘, y”-1, le premier contient a avec un plus haut exposant que le second. Donc le terme mxm—'y rie peut se réduire avec le terme en xm—nyn, et, à plus forte raison, avec les autres termes.

Ainsi le terme mx^—'y est égal, sans réduction, au terme de R affecté de l’exposant le plus élevé de la lettre a; et si Fon divise le premier terme de R par mx,nl , on aura nécessairement, pour quotient, le second terme y de la racine.

Retranchant de P la mième puissance de x + y, et désignant par R' le reste de cette soustraction , on démontrera, comme précédemment, que le premier teyme de R', ou de P-— (x + y)m, représente la valeur do mxm~ 'z ; ainsi, en divisant ce premier terme par mxm— 1 , on aura le troisième terme de la racine; et ainsi de suite. * .'

Dé là résulte le procédé suivant :

Après avoir ordonné le polynôme P par rapport à l’une des lettres qui y entrent , extrayez la racine m^1”'* du premier terme de ce polynôme ; vous obtenez ainsi le premier terme de la racine. Retranchez de P la m,ime puissance de ce premier terme. Puis écrivez au-dessous de fa racine trouvée, m fois la ( ni - — 1 )‘‘m’ puissance de cette racine. >

CALCUL UES RADICAUX

Divisez ensuite par eette dernière expression le premier terme du reste obtenu; vous obtenez ainsi le second terme dé la racine.

Formez la puissance de la somme des deux termes déjà

trouvés à la racine, puis soustrayez de P cette m‘ime puissance.

Divisez le premier terme du nouveau reste par m fois la ( m — i puissance du premier terme de la racine ; vous obtenez

ainsi le troisième terme de la racine; et ainsi de suite. '

11 est facile d’appliquer ce procédé aux cas particuliers de l’extraction de la racine 3e, 4% 8e. . . '

Calcul des radicaux. • < . ■

162. Lorsque la quantité mononîe ou polynôme dont on demande une racine d’un certain degré , n’est pas une puissance parfaite, on ne peut qu’indiquer l’opération, en faisant (n° 2) précéder du signe 4/ la quantité proposée , et plaçant en dedans de ce signe le nombre qui marque le degré de la racine à extraire. Ce nombre s’appelle Y indice du radical.

Souvent, on peut faire subir à Y expression radicale quelques simplifications fondées sur un principe analogue à celui du n° 84 ; c’est que la racine n,w d’un produit est égale au produit des racines des dijfèrens facteur si e ' '* •

En termes algébriques,

Vabcd . . .= |/a x \/b x j/e X |/d . . .

En effet , élevant chacune de, ces deux expressions à la n,ime puissançe , on trouve , pour la première,

. (|/ abcd . . . .)" = abcd ,

et pour la seconde ,

(|/ ra X |/4 X |/c ! . .)” = ( |/o )n. (\/ bf . (\/c)n . . . = abcd, . .

Donc, puisque les nilm" puissances de ces expressions sont égales, les expressions doivent l’être elles-mêmes. ( F oyez n° 167.)

Cela posé, soit l’expression |/ 54àü3ca , qui ne peut être rem-