CALCUL DES RADICAUX

placée par un monome rationnel , puisque 8-4 n’est pas un cube parfait, et que d’ailleurs les exposans de a et e ne sont pas divisibles par 3; on a *

V'ôbaWc' = VllaW V%ü* — 3 al V'tac' .

De même, V' 8aJ =2 y'a’j V' 48a5ésc6 =2ai’e }/ 3 ac’’ ;

\S 192a7éc*a =4//04a6c‘a x V ' 3 ab = 2 aca |/ 3a£.

Dans les expressions Zab j/ 'lac’ , 2 l/«a , 2aiae l/ Sac’ , les quantités qüi sont en avant du radical , auquel elles servent de multiplicateur, sont appelées les coefficient du radical.

163. Le principe démontré n° 183 donne lieu à une autre espèce de simplification.

Que l’ôn ait, par exemple, l’expression radicale V' 4a’ ;

i, \/ 4a1 =±s y/ ha’, et que la

comme, en ver^u de ce principe,

quantité soumise au radical y/ , est un carré parfait , on peut effectuer cette extraction de racine carrée , ce qui donne

De même, \/%>§a’b’ =V'\/'éfta.’b‘l=.\/§ab.

mn % / n - m

En général, J /an=\ y/ a“ = y/a; c’est-à-dire que, lors* que l’indice d’un radical est multiple d’un certain nombre n, et que la quantité sous le signe radical est une puissance exacte , on peut, tant changer la valeur du radical, diviser ton indice par n , et extraire la racine n**"* de la quantité tous le signe.

Cette proposition est l’inverse d’une autre non moins importante, qui consiste en ce que- l’on peut multiplier l’indice d’un radical par un certain nombre , pourvu que l’on élève la quantité tous le signe a une puissance d’un degré marqué par ce nombre.

CALCUL DES RADICAUX

m mn ,• , • n

Ainsi, \/a — Van. En effet, a est la même chose que V'an)

m \ / n mn

donc \/a = V an == \/ an .

Ce dernier principe sert à ramener deux ou plusieurs radi eaux à avoir le même indice , ce qui est souvent utile.

Soient, par exemple, les deux radicaux ^2® et \/a+b, que l’on veut réduire au même indice.

Si Ton multiplie l’indice du premier par -4, indice du second, et que l’on élève la quantité 2a à la quatrième puissance; si, de même, on multiplie l’indice du second par 8, indice du premier, et que l’on élève a + b au cube, on ne changera pas les valeurs des deux radicaux ; et il viendra , par ces opérations ,

Règle gèsèbale. Pour réduire deux ou plusieurs radicaux au même indice , multipliez l’indice de chaque radical par le produit de tou» le» autre» indice* , et élevez la quantité tou * le tigne à une pui**ance d’un flegrè marqué par ce produit.

Cette règle, qui a beaucoup d’analogie avec la réduction des fractions au même dénominateur, est susceptible des mêmes modifications. • '

Soient, par exemple, les radicaux l/a, l/i ïb, l / a7 + b2, que l’on veut ramener au même indice.

Comme les nombres -4, 6, 8, ont des facteurs communs, et que 24 est le multiple le plus simple de ces trois nombres , il suffit évidemment de multiplier le premier par 6 , le second par 4 , et le troisième par 3 , pourvu que l’on élève les quantités sous chaque signe radical , aux puissances de degrés marqués respectivement par 6 , 4 et 3 , ce qui donne

1/54 = 1/5^; l /ÏF+iï=zV'(a’ + b')*.

Ces notionaétablies , proposons-nous d’exéçuter sur lçs radicaux , les opérations de l’Arithmétique qui sont maintenant au

CALCUL DES RADICAUX

nombre de «à?, en y comprenant la formation des puissances et l’extraction des racines. - v

164. Addition et soustraction des radicaux. Deux radicaux sont dits semblables lorsqu’ils ont le même indice , et que la quantité sous le signé est aussi la même.

' Cela posé , pour ajouter deux radicaux semblables ou pour les soustraire l’un de l’autre, il faut opérer simplement sur leurs coefficiens , et placer la somme ou la différence , comme coefficient, en avant du radical commun. '

Ainsi, Zy/b+1y/b = )ôi/b, 3 y/b — l y/be=y/b,

Souvent, deux radicaux ne sont pas d’abord semblables; mais ils le deviennent lorsqu’on leur a fait subir les simplifications des nM 162 et 163. Par exemple,

V lüàb' + b l/78Ü= kb V%1 + U VU = 94 VÛ ;

V/8a35 + 16a4 l//!,4 + 2aiî = 2al/é+2a — bV'b + ta

= (2 a — 4)1/ b+Ha;

3 V'û’ + 2 l/2tt=3 VTa + 2 |/2o ** 5 V'%a .

Si les radicaux ne sont pas sërablables , on ne peut qu’indiquer l’addition et la soustraction, en interposant les signes

165. Multiplication etdivision. Considérons d’abord le cas où

les radicaux ont le même indice.

Soit y/a à multiplier ou à diviser par \/b. Je dis que l’on a

y/a x y/b = y/-âb, ét y/a : y/b = \ b .

En effet (n° 162), si l’on élève y/ a. y/ b et l/aô à la n‘ime puissance, on trouve également pour résultat, ab; donc ces deux expressions sont égales. > , •

CALCUÏ DES RADICAL'*.

De même , et \/ ~ élevés à la n,lme puissance, donnent

Vb

ainsi. ces deux expressions sont égales.

D’où l’on voit que, pour multiplier ou diviser l’un par l’autre deux radicaux de même indice , il faut multiplier ou diviser l une par Vautré les deux quantités sous le signe , et affecter le résultat du signe radical commun . S’il y a des coefficiens, on commence par les multiplier ou les diviser séparément.

.Ainsi , v

. ’ — üa'ta'+b')

ou simplifiant , = -3 — - — * — •

VdL

ZaV 8a’ X 24 Vha'c = Vab l/32a4e=12o’4 Vîc,

Va' 4’ + 44 * /84(a’4’ + 44) x/a‘ + b'

Si les radicaux n’ont pas le même, indice , il faut les y réduire ( n° 163 ) , et opérer comme il vient d’être dit.

Par exemple, 3a^/4x 54V/^2e = 15a4V^84|ioî,