j Formation des puissances et extraction des racines

... , , > • • Soit d’abord j/a.à élever à la nlim* puissance, on a.

( \/a J" == l/o^x Va X- l/a . . .= V an , d’après la règle qui vient d’être établie pour la multiplication.

Donc , pour élever une quantité radicale à une puissance donnée, il faut élever la quantité sous le signe à cette puissance , et affecter le résultat du signe radical avec son indice primitif. S’il y a un

CALCUL DES RADICAUX

coefficient, on élève séparément ce coefficient à la puissance donnée. t ■

Ainsi ( \/ 4a3 )* = l/( -4«.à )a = }/ 16a6=2o^/a, ;

( 3 l/2Ï)5= Zs. îfaâp = 243 1/32^= 486a V'ü* .

Lorsque l’indice du radical est un multiple de l’exposant de la puissance que l’on a à former, on peut simplifier.

Soit, par exemple, 1/2Ô à élever au carré; remarquons que

( o° 155) vr%l=y'v/^,. Or, pour élever cette quantité au carré il suffit de supprimer le premier signe radical ; ainsi l’on a

([/ Sto)’ = V/2Ï.

Soit encore Zb à élever au carré , cette expression revient à

l^Zb; donc {V' Zb )* = |/3Ï. C’est-à-dire que , si V indicé du radical est divisible par l’exposant de la puissance, on peut effectuer cette division, en laissant la quantité sous le radical telle qii’elle était. .

Quant à l’extraction des racines , il faut multiplier l’indice du radical par l’indice de la racine a. extraire, et laisser la quantité sous le signe telle qu’elle était.

Ainsi y \/Zc={/Zc; \/ \/'6c=V'$c

Cette règle n’est autre chose que le principe du n° 165, énoncé dans un ordre inverse.

Si la quantité sous le signe est une puissance parfaite, de même degré que la racine à extraire , il y a lieu à simplification.

Ainsi \/ 1/8 a3 étant (n° 155) égal à \/V8^, se réduit à

te'

De même ,

\/ l/9u' = V VU' = V'Za .

DE LA ■l'LTIM.ICITÊ DES VALEURS l) l'N RADICAL. 253

Remarques sur les valeurs algébriques des radicaux. Conséquences qui en résultent dans le calcul de ces expressions.

167. Les règles qui viennent d’être établies pour le calcul des radicaux sont fondées principalement sur le principe que la racine n‘imc du produit de plusieurs facteurs est égale au produit des racines niim‘ • de ces différens facteurs; et la démonstration de ce principe repose ( n° 162) sur ce que , si les puissances de même degré de deux expressions sont égales , les expressions sont aussi égales. Or cette dernière proposition , qui est vraie en tant que l’on ne considère que des nombres absolus, ne l’est pas toujours pour les diverses expressions auxquelles peut conduire l’Algèbre.

Pour Vérifier l’exactitude de cette assertion, nous prouverons qu’un même nombre peut avoir, algébriquement, plusieurs racines carrées, plusieurs racines cubiques , plusieurs racines quatrièmes , etc . ■ ~

Désignons, en effet, par x l’expression générale de la racine carrée d’un nombre a, et par p la valeur numérique ou arithmè- j tf'gue de cette racine carrée; on a l’équatiôn x3 = a, ou x3 —p*,‘ de laquelle on tire x=±s dtp. D’où l’on voit que , de quelque signe qu’on affecte la valeur arithmétique p de la racine carrée de a, son carré donne également a, résultat conforme à ce qui a été dit au numéro 85. \ •> ’■ ,

Soit, en second lieu, x l’expression générale de' la racine cubique de a, et désignons par p la valeur numérique de cette racine cubique; ou a l’équation x3 = a ou xl—p3.

Cette équation est d’abord satisfaite par x = p.

Observons maintenant que l’on peut mettre x3 = pi sous la forme x3 — p3 — 0. ■

Or, on a vu (n° 31) que l’expression x3 — p3 est divisible par x — p , et donne pour quotient exact , x’ +px + p 3 ; l'équation ci-dessus peut donc être transformée ainsi :

équation à laquelle on satisfait, >

soit en posant x — p = 0, d'où x = p,

IJK t.A «UtTIPUClT*

soit en posant x’+/»x+/»5 = 0 , d’où x — — ^dz — 3 ,

ou bien , . . x — p 1 J •

On voit donc que la racine cubique de a admet trois valeurs

algébriques différentes, savoir :

p,p{^l±^EÏj et

Soit encore à résoudre l’équation x4 = a ou ,>4 — ff,

(j> désignant la valeur arithmétique de \/ a).

Cette équation peut se mettre sous la forme x4 — J»4 = 0 j or l’expression x4 — /»4 revient (n° I9)à(xa — p 5) (x’+i»’)} donc l’équation revient elle-même à ( x* — p’1) ( x* + p* ) = 0 ; et l’on peut y satisfaire,

soit en posant x’ — p2 — 0, d’où x = ± p,

soit en posant xa + /»’ = 0, d’où x,= ±l/ — p7 = ztzp y — 1 .

Ôrr obtient donc ainsi, p.our la racine quatrième du nombre a, quatre expressions algébriquement différentes .

■■ Proposons-nous de résoudre la nouvelle équation x6=p 6, qui peut se mettre sous la forme " x6 . — p6 — 0.

Or x6 — p6 revient (n° 19) à (x3 — p 3) (x3 + /»3); ainsi réquation devient \ ■ (x5 — y3) (x3 + p3) s= 0.

Déjà, l’équation x3 — p3 — 0, résolue précédemment, a donné

x=p et f=/»^ Y —

Considérons actuellement l’équation x3 + p3 =0, et observons que , si l’on remplace, pour le moment, p par — p' , elle devient

x3 — p'3 = 0, d’où l’on déduit x==p' et x = p ou, remettant à la place de/»' sa valenr — /»,

x = * — />N et x=

DES VALKGR8 tl’lin RADICAL.

Ainsi , l’équation x6 — />6 = 0, et par conséquent la racine de o, admet *ix valeurs : p, «p, «.'p, — p, — - «/>, — *!p, en posant, pour simplifier

— 1 + , l —yCTl

Nous pouvons conclure, par analogie (ce qui sera d’ailleurs démontré par la suite, d’une manière plus complète ), que toute équation de la forme xm — a = 0, ou x m — pnl = 0, est' susceptible de m. solutions différentes , c’est-à-dire que la racine miime d'un nombre admet m valeurs , alyéSriquement différentes.

188. Première remarque. Si, dans les équations précédentes et les résultats qui leur correspondent , on suppose , eomme cas particulier, a = 1 , d’où p — 1 , on obtiendra les racines carrées, cubiques , quatrièmes , etc., de l'unité. Ainsi, + 1 et — 1 sont les deux racines carrées de l’unité ; car l’équation x1 — -1 = 0 donne x = ± 1.

De même , + 1 ,

1 — v/=Ti

sont les

trois racines cubiques dé l’unité , ou les racines de x3 — 1 = 0.

+ 1 , — 1 , + V — 1, — — 1,’ sont les quatre racines

quatrièmes de l’unité, ou les racines de x < — 1 =0.

189. Seconde remarque. Soit, en général, l’équation xm a = 0'.

Désignons par p la valeur arithmétique de la racine m,eh,e de a , ce qui donne p"‘ = a ; l’équation ci-dessus devient

x"1 zp p"' '=* 0;

et si l’on pose x = py, y étant une nouvelle inconnue , il en résulte pn,ym qp pm = 0 ; ou, en divisant par/»"1,

Ce qui prouve que , connaissant toutes les valeurs de |/1 ou de

y — 1 , on obtiendra celles d e |/a ou de y — a, en multipliant p par les différentes racines m*™” de + 1 ou de — 1 .

CAS SmCCLIEBS

170. Il résulte de l’analyse précédente, que les règlfs du calcul des radicaux , qui sont exactes en tant que l’on opère sur des nombres absolus, peuvent être susceptibles de quelques modification* lorsqu’on opère sur des expression s ou symboles purement algébriques. C’est surtout quand on applique ces règles aux expressions imaginaires, que ces modifications sont nécessaires, comme étant une suite de ce qui a été dit au numéro 167.

On demande , par exemple , le produit de V — a par V — a; la règle du numéro 165 donne

V — a X V ■ — a. — V +03 = =fc a.

Cette double valeur du produit est une réponse exacte tant que, dans l’expression V — a X V — a, les deux radicaux comportent le double signe ± ; mais si l’on admet que les radicaux soient de mèmè signe , comme alors V' — a X \/ — a. revient à (V'— a)’, et que pour élever y m au carré, il suffit de supprimer le radical , on a nécessairement

Soit, en Second lieu , à former le produit V / — a X b; on aurait , d’après la règle du n° 165,

Or yiïb = ± p (n° 167 ) , p désignant la valeur arithmétique de la racine carrée de ah; mais je dis que le véritable résultat doit être — p ou — V^u b, en tant que l’on considère les deux radicaux l/— a et \/ — b comme précédés l’un et l’autre du signe +.

En effet , oh a

. l/HI = j/a. l/I^l et V/=7è'=== |/è.l/^T;

donc .

a X v/37=tA. i/— i *yb. \Z-\—yab.{\/-\y = yHb X — 1 s= — ab.

DO CALCUL DES RADICAUX. 257

On trouvera , d’après ces principes , pour les diverses puissances de |/ — 1,

(v/zrïy = l/^T,

V~y = (y—yy—i = y/~rt

Comme les quatre puissances suivantes s’obtiendraient en multipliant la quatrième, +1, respectivement par la première, par la seconde , la troisième , et la quatrième , on retrouverait encore pour ces quatre nouvelles puissances,

donc toutes les puissances de |/ — 1 forment des périodes de quatre termes.

Soit encore proposé de déterminer le produit de V — a par

y/ — b, qui , d’après la règle, serait y + ab, et par conséquent

(n° 167) donnerait les quatre valeurs

+ y/ab, — y/ab, + y/ ab .y/ — 1, — y/ ab .y/l—i.

Pour déterminer le véritable produit , obervons que

mais \/~l x V~\ = (\/~iy= (l /ÏT^ïy = |/=T;

donc V' — a x V' — b=.V'ab.y/ — 1.

Appliquons les calculs précédens à la vérification de l’expression — * — — , comme racine de l’équation a:3 — 1 » 0,

c’est-à-dire comme racine cubique de 1. ( Voyez n° 168.) D’après la formule (a + è)3 = a3 + 3 a'b + 3«A’ + b3,

f— 1)3 + 3(— \yV— 3'+3(— l).(v/=3)’ + (V^3)3

on a

THÉORIE DES EXPOSASS

On vérifierait de même la seconde valeur,

— 1 —VrZT?,

§ IV. TnÉOKIE DES EXPOSANS DE NATURE QUELCONQUE.

Notions générales sur les séries.

171. C’est ici le lieu de faire connaître deux nouvelles notations d’un usage très commode dans les calculs algébriques : ce sont les exposans fractionnaires et les exposans négatifs ; ils tirent leur origine des règles établies pour l’extraction des racines et la division des monomes.

Que l’on ait à extraire la racine niime d’une quantité telle que a'". On a vu (n° 158) que, si m est multiple de n, il faut diviser l’exposant m par l’indice n de la racine. Mais si vi n’est pas divisible par n, auquel cas l’extraction de la racine n’est pas possible algébriquement, on peut convenir d’indiquer celte opération , en indiquant la division des deux exposans. Donc

l / am = an , d’après une convention fondée sur la règle des exposans pour l’extraction des racines des quantités monomes.

Ainsi, 1 /a* — aï \ V* 'al = a**.

De même, que l’on ait à diviser am par a". On sait qu’il faut ( n” 23 ) retrancher l’exposant du diviseur de celui du divi-

qP t

dende toutes les fois que l'on a n, ce qui donne — =am— ".

Mais si m est n, auquel cas la division n’est pas possible algébriquement, on peut convenir d’indiquer cette division en soustrayant toujours l’exposant du diviseur de celui du dividende. Soit/j la différence absolue entre n et m ; on a alors n = m + p,

am * Qpi

d’où = a~P: d’ailleurs, se réduit à — , par la sun-

am-+-p ’ ’ a"i+p ap 1 1

pression du facteur am commun aux deux termes ; donc

al1

U expression a- P est donc le symbole d’une division qui n’a

DE NATUBE QUELCONQUE.

pu s’effectuer ; et sa vraie valeur est le quotient de l’unité divisée ■par la même lettre a , affectée de l’exposant p pris positivement.

Ainsi a— 3 — — -, a— 5 = ~.

La notation de l’exposant négatif a l’avantage de conserver sine forme entière aux expressions fractionnaires.

De la combinaison d’une extraction de racine et d’une division, impossibles à effectuer sur des quantités monomes , résulte une autre notation , c’est V exposant fractionnaire négatif.

Soit à extraire la racine nième de — .

urn

D’abord , ona — 7 am

a~m ; donc

en remplaçant le signe ordinaire du radical par un exposant fractionnaire.

Les expressions an , a—p, a ", sont donc, d’après des conventions fondées sur les régies précédemment établies , des notations

équivalentes à V'^âr' , — y/ — . Ainsi, l’on peut, suivant les

circonstances, remplacer les premières par celles-ci, et réciproquement.

Comme dans le discours, aP s’énonce a puissance p, p étant

nt m

un nombre entier positif, de même , par analogie , a ", a~P, a ",

s énoncent a puissance — , a puissance — p, a puissance ;

fl 71

ce qui a engagé les algébristes à généraliser le mot puissance. [ Mais il serait peut-être plus convenable de n’employer que les

dénominations a exposant — , exposant — p, exposant — — * en

consacrant uniquement le mot puissance à désigner le produit de plusieurs facteurs égaux à un nombre donné. {V oyez n° 2.)]

172. Ces notions sur l’origine et la signification des quantités affectées d’exposans quelconques étant établies , nous allons dé-

THÉORIE DBS EXTOSOS

montrer que le calcul de ces sortes de quantités est soumis aux mêmes régies que celui des quantités affectées d’exposans entiers et positifs.

Multiplication . Soit d’abord ag à multiplier par a3 ; je dis qu’il suffit d * ajouter les deux exposant j et que 1 on a

3 » 3 | 1 il

a'i x «J = as'1~ J =o‘5.

En effet, on a vu (n° 171) que

aï = j/a3, a* — y a”,

donc a * "*■ ai === Ÿ* ai X a’ \

ou bien , effectuant la multiplication d’après la règle du n" 16S,

ai = Val 9 =

Soit encore à multiplier a » par a6 ; je dis que l’on a

en effet, a 4= V ^ > « ü=j/a5 ; donc

Soit, plus généralement a " à multiplier par a'< ; on a

a n x ai — a "

p np — nu/

7 =fl n7 ;

Donc , rèyfe générale , pour multiplier deux monomes affectés d’exposans quelconques, il faut ajouter les deux exposant d’une même lettre j c’est la règle déjà établie n” 16, pour lc9 quantités affectées d’exposans entiers et positifs.