APPLICATION DE LA FOSSILE DU BINOME

les analystes ont reconnu, et ils ont déduit de là des conséquences importantes, tant pour l’extraction des racines par approximation , que pour le développement des expressions algébriques en séries..

Nous renvoyons , pour la démonstration de cette formule dans le cas d’un exposant quelconque, au n° 1 82 de ce chapitre ; et nous allons dès à présent en montrer l’usage dans l’évaluation approchée des racines de degré quelconque de nombres particuliers.

Mais, avant tout , il est nécessaire de lui faire subir une transformation.

Reprenons cette formule

(x+a)m—xm+maxm— l + m — - — a7xm~ J-f- ...,

et mettons le facteur xm en évidence dans le second membre ; oïl obtient

!a)m =xm ^

a m — la

ou , posant m ==' - ,

^Vi+!.î+! ”

\ n x n 2 x* n 2 Sx3 /

ou bien encore,

n/, la 1 « — 1 «' 1 » — 1 Sn — la3 \

\ n x n 2» x7 n 2« An x3 ) ' '

Si l’on voulait former un nouveau terme, il suffirait évidemment de multiplier le quatrième par i et par ~, puis de chan-

ger le signe , et ainsi de suite.

178. Cela posé, soit à extraire la racine cubique de 31 . Le plus

a l'extraction des racines par approximation. 265

grand cube contenu dans 51 étant 27, faisons , dans la formule (1), n = 3, jr=27, et a— A, ce qui donne 3 3

il vient

etc. . ;

ou bien , en effectuant les calculs ,

l/lT = 8 +

Le terme suivant s’obtiendrait , d’après ce qui a été dit ci-

dessus, en multipliant — par ■ ^

changeant le signe, ce qui donnerait — 4^46721

ou par 3.^, et

On trouverait de même , pour le terme qui suit ce dernier, 2560 An — la 2560 11 4 112640

et ainsi de suite.

Mais ne considérons que les cinq premiers termes de la série, et réduisons en décimales ; nous obtenons d’abord , pour les termes additifs ,

et pour la somme des termes soustractifs , .=—0,00731 - 0,00006

Donc

APPLICATION DE LA FOD9DLE DU BINOXE

nous prouverons tout à l’heure que ce résultat est exact à 0,0000ï près.

176. Remarque. Lorsque l’expression d’un nombre est développée en une suite de termes dont les valeurs numériques vont en décroissant indéfiniment , on conçoit qu’en général , plus on prend de termes dans la série, plus on approche de la vraie valeur du nombre proposé. Si, en outre, on suppose que les termes soient alternativement positifs et négatifs , on peut, en s’arrêtant à un terme de rang quelconque, déterminer d’une manière précise le degré d’approximation obtenu.

En effet, soit une suite indéfinie de termes , a — b+c — d+e—f+ . . , dans laquelle on suppose que a, b, c, d .. . sont des quantités absolues de plus en plus petites ; et désignons par x le nombre représenté par cette série.

Je dis d’abord que la valeur numérique de x est comprise entre deux sommes consécutives quelconques de termes de la série. Car, prenons au hasard les deux sommes consécutives

a — i + c — d+e — f, et à — à+e — rf + e — f+gj

considérons la première, et observons que les termes qui suivent — f, sont +g — A+A-^-/+ . . . ; mais puisque la série est décroissante, les différences^ — h, k — l . . . sont des nombres positifs f d'où il suit que, pour obtenir la valeur complète de x, il faut ajouter à la somme a — b+c — d+e — f, un certain nombre p.ositif. On a donc déjà

Quant à la seconde, les termes qui suivent +g, sont

— h+k — l+m . . .; or, les différences — h+k, — l+m, . . sont négatives ; d’où l’on voit que, pour avoir la vraie valeur de x, il faut ajouter à la somme a — b+c — d+e — f+g une quantité négative, c’est-à-dire diminuer cette somme. On a donc

'Donc x est compris entre ces deux sommes.

Conséquence. Comme la valeur numérique de la différence entre eCs deux sommes est évidemment^, il s’ensuit qu el’ erreur commise, lorsqu’on prend un certain nombre dt termes a — b + c — d + e — f.

A l’eXTBACTIOS BES RACINES PAS AFrBOXIXATlON.

pour la valeur de x, ett numériquement moindre que le terme qui suit immédiatement celui auquel on s'est arrête.

Ainsi, dans l’application du numéro précédent, tous les ternies étant alternativement positifs et négatifs , et allant en diminuant à partir du second , on peut conclure que la valeur numérique de la somme des cinq premiers termes ,

diffère de j/31 d’une quantité moindre que la valeur du 6° terme,

que I on a trouve (n° 178) égal a ^ ^•ig.i^QQg 5 or> cette fraction est, d’après sa seule inspection, au-dessous de j gQo'gjj î donc

^/31 =3,14138 à 0,00001 près; ce que l’on pourrait vérifier par le procédé ordinaire, mais par des calculs plus laborieux que les précédens.

177. Voici en quoi consiste le procédé pour extraire approximativement la racine nième d’un nombre N par le moyen des séries : Décomposez N en deux parties p" + q, p étant la racine de N obtenue à une unité près (n° 183) , et faites dans le développement

de l/x + a (n° 178), x=p", a=q. Effectuez les calculs , en vous arrêtant au terme dont le suivant soit, d’après son inspection, au-dessous de l’unité de l’ordre décimal qui détermine l’approximation ; convertissez en décimales tous les termes dont vous avez tenu compte , et opérez la réduction des termes additifs et soustractifs.

Cette méthode n’est bien avantageuse qu’autant que ~ est une

fraction assez petite; car autrement, les termes de la série ne diminueraient pas très rapidement , et il faudrait un grand nombre de termes pour donner le degré d’approximation désiré, ce qui entraînerait dans des calculs extrêmement laborieux.

On est même obligé de modifier la marche précédente toutes

les fois que l’on a pn <^q ; car alors - ou — - est plus grand que

Al'TIlES APPLICATIONS

l’unité, ainsi que toutes les puissances de -, qui augmentent de

plus en plus , numériquement , à mesure que le degré de la puissance augmente.

Soit, par exemple, 56 le nombre dont on demande la racine 3mc; 27 étant le plus grand cube contenu dans 56; on aurait

-r = 27 , a = 29; d’où J = ||;

et les termes de la série augmenteraient au lieu de diminuer ( nous ne parlons pas des coefficiens , qui sont des fractions peu différentes de l’unité). Mais observons que l’on peut aussi décom-

poser 56 en 6-4 — 8, ou -4 3 — 8; or, — ou g est une très petite

fraction. D’un autre côté, si, dans l’expression de Vx + a (n° 17-4), on remplace a par — a il vient

n ïn \ra n 2» on x3

Posant donc x = 6-4, a ■= 8 , on obtiendra une série de termes qui décroîtront très rapidement.

A la vérité , tous les termes , à l’exception du premier, sont négatifs ; et l’on ne peut appliquer à la série ce qui a été dit (n° 176) sur la manière de fixer le degré d’approximation que donne la somme d’un certain nombre de termes. Mais alors , on tient compte d’un nombre de termes assez grand pour qu’on soit bien assuré que l’ensemble des termes négligés n’influe pas sur l’ordre décimal auquel on veut arrêter l’approximation. '

On pourra s’exercer sur les exemples suivans :

t/39 = 1/32 + 7 = 2,0807 à 0,0001 près;

|/65 = Vu + 1 = 4,02073 à 0,00001 près ;

t/260 = 1/256 + 4 = 4,01553 à 0,00001 près;

1/108 == V 128 —20 = 1; 95204 à 0,00001 près (*).

(*) Voyez le n° 5 de la première note placée à la tin du Gp chapitre.