DE LA FOUHUI.E DU DI SOSIE
178. Autres applications de la formule du binôme. Cette formule sert aussi à développer les expressions algébriques en séries.
Soit, pour premier exemple, l’expression p-î— ; on a
Posons dans la formule (x+a)m = xm -f maxm—' + , x = 1 , a — — z, m — — 1 ; il vient
(1- = 1 - 1 .(-*)- 1 ~.Lnl • (-*)'
ou, effectuant les calculs et observant que chaque terme se compose d’un nombre pair de facteurs affectés du signe — ,
On parviendrait au même résultat en appliquant le procédé de la division algébrique (n° 2G).
Soit encore l’expression
On a, en développant (1 — z)*3,
ou 2(1— z)
ou , effectuant les calculs et réduisant,
2(1 — z)- 3 = 2(1 + 3z+ 6z’ + 10z3 + lSz< +
Prenons pour dernier exempte , la quantité z — • z’ , qui revient à Y/'iz[\ — et développons ^1 — *^î.
MÉTHODE
En posant dans la formule ( x + a)m = x"1 + maxm~ » + ....,
x = 1 , a = — ,m = ,,ona
donc
’ 1 z -±*-± *3 - etc.).
Méthode des coefficiens indéterminés. Notions sur les séries récurrentes.
179. Les algébristes ont inventé , pour le développement des expressions algébriques en séries, une autre méthode qui est en général plus simple que celles dont nous venons de parler, et qui d’ailleurs est beaucoup plus féconde , en ce qu’elle s’applique à des expressions algébriques d’une nature quelconque.
Pour donner une première idée de cette méthode , nous nous
proposerons de développer l’expression , en une série
qui procède suivant les puissances entières et positives de x.
fl
Il est visible que ce développement est possible ; car —
revient à a(a'+l'x)-1 ; et, en appliquant la formule du binôme, on obtiendrait évidemment une suite de termes procédant suivant les puissances ascendantes , entières et positives de x. Posons donc <
= A + Bx -f Cx3 + Dx3 + Ex* + Fx5 + (1),
A , B, C, D . . . étant des coefficicDS , fonctions de a , a, h', mais indépendans de x, coefficiens qu’il s’agit d’ailleurs de déterminer, et que, par cette raison , l’on appelle coefficiens indéterminés. {Cette dénomination est impropre : d’après le sens
DES COtFFIClESS inDÉTEBMlUtS. 271
attribué jusqu’ici au mot indéterminé , il vaudrait mieux dire coefficient à déterminer ; mais nous nous conformerons à l’usage.)
Pour parvenir à la détermination de ces coefficiens , multiplions les deux membres de l’équation (1) par a' + i'x; nous trouvons, en ordonnant par rapport à x, et transposant le terme a ,
x3 + Da' I x3 + Ea' I -J- . . . (2).
+ Ci' I + Di' I
Remarquons maintenant que , si l’on suppose les valeurs de A, B, G, D. . . convenablement déterminées, l’équation (1) doit se vérifier, quelque valeur que l’on donne à x; ainsi il en est de même de l’équation (2).
Or , lorsqu’on suppose x — 0, celle-ci devient 0 == Ao' — a, d’où l’on déduit la valeur de A , A =
j A a + Ba' x + Ca'
0== + Bi'
A étant égal à ^ quand on a x == 0 , doit conserver la même
valeur lorsque x est quelconque , puisque , par hypothèse, A est indépendant de x ; ainsi, quel que soit x , l’équation (2) se réduit à
Ba' I x + Ca' x’1 + Da' | x3 + ..., ou, divisant par x,
+ A i' | + Bi' + Ci' I
Ba' + Ca' I x + Da' I ïa + (3).
+ Ai' + Bi' I +CA' 1
Cette équation devant encore se vérifier pour toute valeur de x, faisons x — 0 ; il en résulte Ba' + Ai' = 0 ;
d’où l’on tire
ou bien ,
ab' a'3 ‘
Comme B doit conserver cette même valeur, quel que soit x , supprimons dans (3) le premier terme Ba' + A b' qui s’anéantit par cette valeur de B, et divisons par x ; il vient
( Ca' + Di' I x q- Ea' | x3 +
0 “ \ + BA' f Ca' I + Di' |
MÉTHODE
Faisons de nouveau x = 0; il en résulte C a' 4- BA' =0,
d’où l’on déduit C = ■
