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V ah ■'»

1 • p 1/ Ul/

, ou bien C = y x r=-pr

On trouverait de meme

De' + CA' =0,

d’où

D— Sf,

ou

aA'1 A^ ah'3

et ainsi de suite.

Il est aisé de reconnaître qu’un coefficient quelconque se forme au moyen du coefficient qui précède, en multipliant

celui-ci par ainsi l’ou a

a ah' ah'2 ah'3 ab’h

- —r r x + —TT x 2 77 * H TT •V'* — •

180. En réfléchissant sur les raisonnemens qui précèdent, on voit que le principe fondamental de la méthode des coefficiens indéterminés consiste en ce que , si une équation de la forme 0 = M + N x -f- Px’ + Qx3 -f- . . . . ( M , N, P.... étant des coefficiens indépendans de x ) , doit se vérifier quelque valeur que l’on donne à x, il est nécessaire que chacun des coefficiens soit séparément égal à 0.

En effet, puisque ces coefficiens sont indépendans de x, si l’on parvient à les déterminer d’après des hypothèses particulières faites sur x, ces valeurs seront celles qui leur conviennent lorsqu’on suppose x quelconque. Or, en faisant x = 0, on trouve M = 0; et l’équation se réduit, après la division par x, à

0= N + Px + Qx’-f- ;

faisant, dans cette nouvelle équation, x = 0, on trouve N =0; et l’équation se réduit , lorsqu’on a divisé par x, à 0=P + Qx + . . ., et ainsi de suite. On a doue séparément

on obtient par cc moyen autant d’équations qu’il y a de coefficiens A, B, C, D .... à déterminer.

DES C0EFV1CIENS INDÉTERMINÉS.

Ce principe s’énonce encore d’une autre manière :

Si une équation de la forme

a 4" ex1 4" dx* 4*... = ft,+A,x4exs4(i,x^ • « •

doit être vérifiée quelque valeur que l’on donne à x, let termes affectés d’une même puissance dans les deux membres , sont respectivement égaux ; car, après la transposition de tous les terme? dans le second membre , l’équation est de même forme que cidessus ; d’où l’on peut ensuite conclure

a' — a = 0, b' — b = 0, e' — easO...., et par conséquent ,

On donne (n° 42) le nom d’équation identique à toute équation dont les termes sont ordonnés par rapport à une certaine lettre, et qui doit se vérifier pour toutes les valeurs attribuées à cette lettre , afin de la distinguer d’une équation ordinaire, c’est-à-dire d’une équation qui ne peut être satisfaite que par certaines valeurs attribuées à cette lettre.

181. La méthode des coefficienx indéterminés exige encore que l’on connaisse à priori la forme du développement par rapport aux exposans de x. Ordinairement, on suppose que le développement procède suivant les diverses puissances ascendantes, entières et positives de x, à partir de la puissance x° ; mais quelquefois cette forme n’est pas convenable , et la suite des calculs le fait reconnaître.

Soit , par exemple , à développer l’expression L.

Posons •= — i — ■== A4-Bx4-Çx,4-Dj:34- . . .:

Sx — x’

en chassant les dénominateurs et ordonnant , on trouve

0 = — 1 4- SAx 4- SB ' — A

x» 4- SC — B

x* 4- SD | x4 -J- .... ,

d’où l’on devrait conclure (n° 180)