SA — 1 = 0, SB — A = 0, SC — B

d’où l’on tire successivement

A J n 1 r__L n-1 y — 9’. • Vf* 81

DonC 37^=iU + 9X+27Jr,+8Î^

:SJ-,+ 9"°+27"'+br^ +

c’est- à-dire que le développement renferme dans son expression un terme affecté d’un exposant négatif.

182. Démonstration de la formule du binôme par la méthode des coejflciens indéterminés.

Pour faire apprécier la fécondité de la méthode des coefficiens indéterminés, nous allons donner une démonstration cpmplète de la formule du binôme, fondée sur cette méthode.

Afin de simplifier les calculs, nous remarquerons d'abord que

(x -f- a)m peut se mettre sous la forme x™ ^1 +

Si Ton pose ® = y, et qu’on développe (1 + y)m, il suffira ensuite de multiplier ce développement par xm, puis de remplacer y par - ; et l’on obtiendra le développement de (x + a)"'.

PAH I.A MÉTHODE DES COIEflCIENS INDÉTERMINÉS. 275

( Celte transformation a pour objet d’éviter dans le calcul les puissances xm, xm~' ... du premier terme x.)

Ceci admis , soit d’abord m égal à un nombre positif ?■ (q pou-

vaut être égal à 1 , auquel cas l’exposant serait entier).

Posons (1 + y)i= 1 -p Ay -f By1 -p Cy3 -p Dy* + . . . (1).

[On est conduit à donner cette forme au développement, par la formation des premières puissances entières , et en observant que, pour y=0, le premier membre se réduit à 1 ; d’où il suit que la partie indépendante de y, dans le second membre, doit être égale à 1 .]

Pour déterminer les coefficiens A, B, C, D . . . ., remplaçons, dans l’équation (l), y par z ; il vient

(1 -p z)'i = 1 -p A* -p Bz’ + Ci3 + Dz*i-p ... (2),

A, B, C... ayant ici évidemment les mêmes valeurs que ci-dessus , puisqu’ils sont indépendans de toute valeur attribuée à y.

Retranchant ces deux équations l’une de l’autre, on obtient

Faisons pour le moment (1 + y)i = u, (1 -f z)i = v; il en résulte \ -\- y ■= ui , \ -\p z =. tfl ; d’où y — z = uH — trf ; et l’équation (S) devient

uP—vr=A{y—z) + B (y5— z1) + C (y5— z3) + D(y*— z<) + . . . . (4),

ou, divisant le premier membre par — vl , et le second par y — z, qui est égal à ut — v'i ,

uP — vP A (y— ,z)-pR(y’ — zJ) + C(y3 — z3) + D (y*-1— z4)-f ...

ut — vh y — *

Or, d’après le théorème (n° «1), uP — vP est divisible par u — v, et donne pour quotient,

ur~\ 4. vup -* + n’u/’-l + . . . + Pp-’.

270 v ' DÉMONSTRATION

De même , un — vi : u — », donne

un— 1 + vu.1— 1 + v'ü'i—3 + • . . + vl—'i

D’nn autre côté , y — 2 , y’ — *5, y3 — *3, y4 — **•••» divisés par y — z, donnent pour quotiens,

ainsi, l’équation (-4) revient à

"r-' + euP~ * + g,M/,~3 + - + A + B(y+*) + C(y’ + yz + ,*)

un— '-\-vwr— » + »3u/— 3 +... + »'/ 1

. „ +D(y3 + y’2 + yï’+y3) + -..

Faisons maintenant, dans cette dernière équation, y z±= z ,

d’où l’on déduit m=», d’après les. équations (1 + y)< = «,

i , V .up—x p uP

( 1 + 2)7 = p; le premier membre devient ^/1 ou .

Si l’on remet à la place de ur , sa valeur (1 + y)», ou 1 + A y+By’ + Cy3 + . . ., et à la place de un sa valeur 1 +y, ce

. p 1 + Ay + By1 + Cy5 + .. .

premier membre devient encore ^ ^ ^ •

D’ailleurs , le second membre se réduit à

A+2By + àCy’ + 4Dy3+.-.;

on a donc la nouvelle équation

E 1 + Ay ■ + %’ + Cy3 + py4 + - a + ;>r, -p ar.y « -P ADy3 -t- . . . ?' 1 + y

d’où , chassant le dénominateur 1 + y, et effectuant les calculs , - + - . Ay + - .By* +- .Qy% + - .T)y'* + ... =

Comparant (n° 180) les deux membres de cette équation identique, terme à terme , on obtient les égalités suivantes

y3 + SE