B = SC + 2B

^ ; donc C —

^ ; donc D =

et ainsi de suite.

La loi de formation des coefficiens successifs est manifeste. Soit N le coefficient qui en a n avant lui , et M celui qui le précède; on aurait évidemment

-M=Nn + (« — 1)M; d’où ‘N— -1 : —

En reprenant la démonstration précédente , on s’assurerait facilement quelle s’applique au cas où l’on aj^=l, e’est-â-dire au cas où l’exposant est entier. '

Quant au cas où m est égal à un nombre fractionnairè négatif» — on suit absolument la mâfce marche que précédemment;

mais, parvenu à l'équation qui correspond à l’équation (-4), savoir

on remarque que u~P — v—p=- r vP up — uP vP .

HP vP uPvi\ ■ uPtP ’

ainsi ,.en divisant le premier membre par ui~— vl , et le second par y — z , qui est égal a un — iff, on a

1 up — rP A (y — *) -h B (y* — g1) -H . » .

UPvP ’ Ul VI ’ y 2 , ’ •

ou, supprimant le facteur u — v et le facteur y — z,

1 tlP— l+vuP— J+ . . . +pp— I - , .

UPVP U'/—' -\-VUrr—2+ . . . + Vt~ > ^ ' ty + ' ' l

278 noTioü»

taisant ensuite y—z, d'où u — v, on obtient

1 puP —} p

u'P qu‘l~l q

^ = A + 2By + 3Cy’ +

Le reste du calcul est absolument semblable à celui du cas précédent.

Maintenant, puisque l’on a , quel que soit m,

(1 + y)« = 1 + my + m — = ya +

remplaçons y par - et multiplions par x”‘ ; il vient

{ . a\m . . Tri — 1

x™ + -J ,OU [T + a]m=:xm + majrm—,+Tn — - — a’x™— *+...

Ainsi la formule du binôme est démontrée généralement.

183. Des séries récurrentes. Le développement des fractions algébriques rationnelles d’après la méthode des coefficiens indéterminés, donne lieu à des séries d'une nature particulière , connues sous le nom de séries récurrentes.

Nous avons déjà vu (n° 179) que l’expression - f a , a pour

CL "j* 0 «JT

af>'

ah'1

alD

sérié

- , . Lb U, If w ,

développement , — ^ x q yj x’ — x5 + .

CL Or CL CL “

dans laquelle on forme chaque terme au moyen du précédent.

en multipliant celui-ci par — — ; x.

Cette propriété n’est pas particulière à la fraction proposée ; elle appartient à toutes les fractions algébriques rationnelles , et elle consiste en ce que, toute fraction rationnelle en x réduite en série , donne lieu à une suite de termes dont chacun est égal à la somme algébrique d’un même nombre de termes précédens, multipliés respectivement par certaines quantités qui sont constamment les mêmes dans toute l’étendue de la série.

L’ensemble des quantités constantes par lesquelles on doit multiplier un certain nombre de termes précédens pour former un terme quelconque, s’appelle Y échelle de relation de la série.