DA
+ Ac
+ Be'
+ Ce'
+ Ad'
+ Bd'
ce qui donne les équations A a' — a = 0 ,
d’où A = — a
lia' + Ab' — A = 0 , B = — -,A+-,b =
Ca' + BA' + A c1 —c= 0, C = — -, B — -, A + - c,
— ab' + ba'
ou
r ab '* — ba'b' — aa'c 4- ca'
Il • ~ ■- ■ ■ - ■
Da' + CA' + Be' + A(T=0, D = — ^C— ~B— ?-At
Ea' + DA’ + Ce' + Bd' = 0 , E =
D’où l’on voit que les trois premiers coefficiens s'obtiennent d’abord sans aucune loi ; mais à partir du quatrième , chaque coefficient se formé de la somme des trois coefficiens qui le précèdent , multipliés respectivement par — savoir,
r pour le coefficient qui précède immédiatement , ; pour
a ft
dr
celui qui> précède de deux rangs, et rpour celui qui pré-
cède do trois rangs; ainsi les coefficiens A, B, C, D. . . forment
280 NOTIONS SCR LES SÉRIES RÉ€tJBRENTES.
déjà entre eux une série récurrente dont l' échelle de relation se
compose de ^ J .
Il résulte de cette loi de formation des coefficiens, que le quatrième terme de la série , Dx3, est égal à
— - y Cx3 — -, Bar3 — -, Ax3, a >. a a
ou bien,
7 X. Cxa -ji’. Bx —Î X3.A,
On a de même , pour le terme Ex*,
r Dx4 — C—~ Cx* — Bxt
ou bien, — -rx. Dx3 — ^x*. Cxa 7x3. Bx;
et ainsi de suite.
Donc, chaque terme de la série demandée , à partir du quatrième, est égal à la somme des trois termes précédens multipliés
respectivement par ^ x , — — -n- x3J.
Quant aux trois premiers termes A + Bx + Gx5 , on les obtient en remplaçant A , B , C , par . leurs valeurs obtenues ci-dessus.
184. On divise les séries récurrentes en difiérens ordres > et l’ordre s’estime par le nombre des termes nécessaires pour
fl
former un terme quelconque. Ainsi, l’expression — — — donne
lieu à- une série récurrente du premier ordre , dont l’échelle de
relation est rx.
L’expression
■a + bx
■ donnerait lieu à une série réctir-
a' + b'x ■+■ c'x3 rente du second ordre, dont l’échelle de relation serait
. La série obtenue dans le n° précédent est du troisième ordre.
DIS PnOORISSIONS PAH DIFFÉRENCE.
2RÎ
En general, une expression de la forme
donne naissance à une série récurrente du «'*“• ordre, dont
l’échelle de relation est ( -x, xJ • • • rx» J.
N. B. Nous supposons ici que le degré de x soit moindre au numérateur qu’au dénominateur. S’il en était autrement, il faudrait d’abord faire la division en ordonnant par rapport aux puissances ascendantes de x, ce qui donnerait un certain quotient entier par rapport à x, plus une fraction semblable à la fraction ci-dessus.
Ainsi , soit l’expression
J — % Sx’ 4- 4x3 + x1*
2 — 5x 4“ 3xJ — x3 x< 4- 4x3 — 3xa — x + 1 ) — x3 + 3x’ — 5x + 2
En effectuant la division , on trouve pour, quotient , — ■ x — 7, et pour fraction complétant ce quotient, ,
— x3 + 3x’ — 5x4-2’ °“ 2 — 5x 4- 3xJ — x3"
La propriété énoncée au numéro 183 souffrirait d’ailleurs des modifications si le numérateur était d’un degré plus élevé que le dénominateur. . ..
Nous reviendrons plus loin sur ces sortes de séries qui offrent plusieurs questions intéressantes.
