THÉORIES DES PROGRESSIONS ET DES LOGARITHMES

Ce nouveau chapitre se lie naturellement à celui qui précède, tant parce que le premier paragraphe a pour objet l’examen des propriétés de deux espèces de séries , que parce qu’il offre «no application immédiate de la théorie des exposans d’une nature

DSS PROGRESSIONS

quelconque; il complète aussi les connaissances algébriques absolument indispensables pour l’étude de la Trigonométrie et de V Application de l’Algèbre à la Géométrie.

§ l". DES PROGRESSIONS PAR DIFFERENCE ET DES PROGRESSIONS PAR QUOTIENT.

Progressions par différence (*).

185. On appelle progression par différence ( ou arithmétique ) , une suite de termes dont chacun surpasse celui qui le précède , ou en est surpassé d’une quantité constante que l’on appelle raison ou différence de la progression.

Ainsi , soient les deux suites

La première est dite une progression croissante dont la raison est 3 , et la seconde une progression décroissante dont la raison est 4.

Désignons en général par a, b, c, d , e,f. . . les termes d’une progression par différence , on est convenu de l’écrire ainsi ;

et l’on devrait l’énoncer: Comme a est à b, b est à c, c est à d, d est à e , . . . ; mais on dit simplement , a est à b est à c est à d est à e. . . C’est une suite d ’équidiffèrences continues, dans laquelle chaque terme est à la fois conséquent et antécédent, à l’exception du premier terme, qui n’est qu 'antécédent , et du dernier, qui n’est que conséquent.

186. Appelons r la raison de la progression; que nous supposerons croissante, dans tout ce qui va suivre. (Si elle était décroissante , il suffirait de changer r en — r dans les résultats. )

(*) Quoique la plupart des propriétés relatives aux progressions par différence et pnr quotient aient été développées dans notre Arithmétique , nous croyon» devoir les reproduire ici, afin d’avoir un ensemble complet de ces propriétés.

PAR DIFFÉRENCE

Cela posé, on a évidemment, d’après la définition de la progression, Y '

et, en général, un terme de rang quelconque est égal au premier , plut autant de foit la raison qu’il y a de termes avant celui que Von considère. Ainsi, soient l ce terme et n le nombre total des termes, jusqu’à celui-ci inclusivement; on a pour l’expression de ce terme général, l=a + (n — l )r.

En effet, si l’on suppose successivement n =1 ,2,8,4......

on retrouve le premier , second , troisième terme de la pror

gression. >■

Si la progression était décroissante , on aurait , au contrairq ,

La formule l=a + (n — ljrsert adonner l’expression d'un terme de rang quelconque , sans que l’on soit obligé de déterminer d’abord tous ceux qui le précèdent. '

Ainsi, que l’on demande le 80' terme de la progression ’

On a, «n faisant» = 80, /=l + 49. 3=148.

187. Une progression par différence étant donnée, on peut se proposer de déterminer la somme d’un certain nombre de ternies. ,

Soit la progression j a. 6 .c .d.e.f. . . ,i ,k .1, prolongée jusqu’au terme l inclusivement; désignons par n le nombre des termes, et par r la raison.

Commençons par observer que, si x désigne un terme qui en a p avant lui, et y un terme qui en a p après lui, on a,

d’après ce qui vient d’être dit, les égalités, | ^ ^ pxr’m

d’où l’on déduit, ën les ajoutant, . .... x+y — a + l; ce qui démontre que , dans toute progression , la somme de deux termes quelconques pris a égale distance des extrêmes est égale à la somme des extrêmes ; ou bien encore, les deux extrêmes , et deux termes pris à égale distance de ces extrêmes , forment une cquidifférence , dans l'ordre où ils sont écrits.

DES PROGRESSIONS

Ceci admis , écrivons de la manière suivante la progression au-dessous d’clle-mcme, mais dans un ordre inverse,

Appelons S la somme des termes de la progression proposée; 2S sera la somme des termes des deux progressions; et l’on aura, en réunissant les termes par colonne verticale ,

2S = (a + /) + (à+&) + («+»)+ . . •+(«+c) + (£-M)-f-(/+a); -ou bien, comme toutes les parties a + l, b+k, e+ sont égales et en nombre n ,

2S = (a + l)n; donc enfin S = ^~ — ÿ-

c’est-à-dire que la tomme des termes d’une progression par différence est égale au produit de la somme des extrêmes multipliée par la moitié du nombre des termes.

Si, dans cette formule, on remplace / par sa valeur a +(n — l)r, on obtient encore

mais la première expression est la plus usitée.

Applications. On demande la somme des cinquante premiers termes de la progression 7 2.9.16 .28.30. . .?

On a d’abord pour le 50im' terme, l— 2 + 49.7= 345;

donc S = f 2 + 80 = 34? x 25 = 8675.