Les formules /==a + (n — 1 )r, . S— • ° --- > renfer

ment cinq quantités, arr, n, l et S, et, par conséquent, donnent lieu à ce problème général : Trois quelconques de ces cinq

On trouverait de même pour le

100'™' terme I—

et pour la somme des 1 00 premiers

termes 5 =

Digiti

PAR DIFFÉRENCE

quantité» étant donnée» , déterminer le» deux autre». Ce problème se subdivise en autant de problèmes particuliers que l’on peut, avec 5 lettres , former de combinaison» différente» 3 à 3, ou 2 à 2. Or, on a obtenu (n° 1-17) pour les nombres de combinaisons 2 à 2 , et 3 à 3 ,

__ et - 27g

Faisant dans ces formules, m = 5, on trouve — ou 10, et

ou 10; d’où l’on voit que 5 lettres, combinées 3 à 3,

donnent le même nombre de combinaisons que 5 lettrés combinées 2 à 2. £ Ce résultat s’accorde avec la conséquence du n° 150, en vertu de laquelle le nombre des combinaisons de m lettres n à n, est égal au nombre des combinaisons ( m — n) à ( m — n).~] On voit donc que le problème ci-dessus se subdivise en 10 problèmes particuliers dont voici les énoncés :

Étant donnés, 1° a, r, n, trouver / et S;

2° a, r , l, ...... . n et S ;

3“ s, r, S, n et /;

4° a, n, l, . r et S;

5® a, n, S, r et 1; • •

6’ a, l. S, r et n;

7° r, n, /, a et S;

8° r, n, S a et l; •

9° r, l. S, .. .. ... a et n; ' \

10° n, l , S, ... a et r.

Le premier problème est déjà résolu, puisque les deux formules donnent immédiatement / et S en fonction de a, r, n. Quant aux autres problèmes ,• leur résolution n'offre aucune difficulté; mais nous engageons les commençans à les traiter successivement , cet exercice étant très propre à les familiariser avec la résolution des équations du premier et du second degré; car il est bon dèremarqu'er, quoique les quantités a, r, n, l et S, ne soient affectées d’aucun exposant dans les deux formules, que l’on est cependant conduit à résoudre une équation du second degré lorsque a et n, ou bien / et n, sont inçonnues; parce que

DES PROGRESSIONS

a et n, ou l et n, entrent à la fois dans les deux équations et sont multipliées entre elles dans la seconde. '

N. Ii. Il est aisé d’expliquer pourquoi, dans ces deux problèmes, la détermination de chacune des inconnues doit dépendre d’une équation du second degré.

Soit, en effet, la progression décroissante

On voit que la somme des 3 premiers termes , aussi bien que la somme des 9 premiers, est égale à 27. Donc, si l’on donnait o=ll , r= — 2, S = 27, et qu’on demandât l etn, on devrait obtenir les deux systèmes /= 7, « = 3, et 1= — 8, n — 9; donc , la détermination de n , par exemple , doit dépendre d’une équation du second degré.

189. Nous nous bornerons à résoudre le quatrième problème : c’est le cas où , connaissant a, n, et 1, il s’agit de déterminer r et S.

La formule l=a + (n — l)r, donne r=- —

et la formule S = — , fait connaître immédiatement la

valeur de S.

De la première expression , r

on déduit la solution

de cette question : insérer entre deux nombres donnés a et b un nombre m de moyens différentiels ( on appelle ainsi des nombres compris entre a et b, et formant avec ceux-ci une progression par différence).

- Pour résoudre cette dernière question , il suffit de déterminer ta raison; or, en remplaçant, dans la formule ci-dessus, l par b, et n par (m- f-2 ) qui exprime actuellement le nombre total des

termes , on trouve r= , ou r = j ; c est-a-dire que

la raison de la progression cherchée s’obtient en divisant la différence des deux nombres donnés a, et b par le nombre des termes a insérer, plus un.

La raison une fois obtenue , on forme le second terme de la progression, ou le premier moyen différentiel , en ajoutant r, ou

PAR DIFFÉRENCE

t-, au premier terme a ; le second moyen s’obtient ensaug-

fR-fl

mentant celui-ci de r, et ainsi de suite.

Soit, par exemple, à insérer 12 moyens différentiels entre 12 77 — 12 65

= 77 = 5, ce qui donne la progrèslo

et 77. Onar=:

s ion

13 lô 12.17 .22.27.32.37. ...72.77.

Conséquence. Si , entre les termes consécutifs d’une •progression, considérés deux à deux , on insère un même nombre de moyens différentiels , ces termes et les moyens différentiels réunis ne forment qu’une seule et même progression.

En effet, soit f- a .1 ,c .d.e .f . . . la progression proposée, et soit m le nombre des moyens que l’on veut insérer entre a et b , entre b et c , c et d . . . .

La raison de chaque progression partielle sera , d’après ce qui

vient d etre dit, exprimée par 7 , , ,

quantités toutes égales, puisque a, b, c.... sont en progression ; ainsi la raison est la mémo dans chacune des progressions partielles ; et comme d’ailleurs le dernier terme de la première forme le premier terme de la seconde, et ainsi de suite, on peut conclure que toutes ces progressions partielles constituent une progression unique.