Voici les énoncés de quelques problèmes
Première question. Déterminer le premier terme et le nombre des termes d’une progression par différence , dont la raison est 6, le dernier terme 185 , et la somme 2945 ?
( Réponse . Premier terme =5, nombre des termes =31.) Seconds question. Insérer entre deux quelconques des termes de la progression ^-2.5.8.11.14...., neuf moyens différentiels ? {Réponse. Raison, ou r=0,3.) ,
Troisième question. Trouver le nombre d’hommes contenus dans un bataillon triangulaire dont le premier rang est 1 , le second est 2, le troisième est Z, et le nilme est n. Eu d’autres termes,
trouver l’expression de la somme des nombres naturels 1, 2, 3
depuis 1 jusqu’à n ?
/ Réponse. S = . 1
DES PROGRESSIONS
Quatrième .question. Trouver la tomme des n premier» termes de. la progression des nombres impairs 1, 3, 5, 7, 9 ... .
( Réponse. S*=7i% ou le carré du nombre des termes.)
Cinquième question. Un monceau de sable est distant d’une allée d’arbres de -40 mètres; elle exige , pour être tablée, 100 voitures , « 6 mètres d’intervalle l’une de l’autre. On demande le chemin que le voiturier doit faire , la première voiture étant dépotée a 40 mètres du monceau de sable , et la voilure devant, à la fin , revenir à l’endroit d’où elle était partie?
( Réponse . 67,400 mètres. )
Sixième question. Un fantassin fait 10 lieues par jour; un cavalier part en même temps , et ne fait que 3 lieues le premier jour , mais, chaque jour suivant , il fait 2 lieues de plus que le précédent. On demande en combien de jours le cavalier atteindra le fantassin , et combien ils auront fait de chemin chacun ?
( Nombre de jours, 8 ; chemin , 80 lieues.)
Des progressions par quotient. r
191. On appelle progression géométrique ou par quotient, une suite de termes dont chacun est égal au produit de celui qui le précède, par un nombre constant que l’on nomme raison de la progression; ainsi les deux suites
dont la première est telle , que chaque terme contient celui qui le précède, deux fois, ou est égal au double de celui qui le précède , et dont la seconde est telle , que chaque terme est contenu dans celui qui le précède, quatre fois, ou est égal au quart de celui qui le précède, sont dites des progressions par quotient;
la raison est 2 pour la première , et * pour la seconde.
Soient a, b , c, d, e, f...... des nombres en progression par
quotient; on l’écrit ainsi, ^ a : b : c : d : e :f: g ..., et on l’énonce
WW QI-OtTE*!.
domine une ‘prfcgress'uru. par difMrençe, quoiqu’il y . ait" cétfe, distinction à faire, qu^Tpneest une suite de djfféaencea égaies, et Fautrc une. suite, de, qftotiens'-.ou de rapports égau'i, çjnws lesquels chaque terme «si a. latjvis aniècédefa/ çf amdiquentf excepté le premier qui n’est qjt’ antécédent ,et lé qui que
conséquent. ' '.*•»*' * , * -,
192. Désignons pafy la raison d« la progression — aib:c'id,..*, q étant' 1 lorsque la' progression cs\ eroissunte, çl 1 lorsque la progressloïi cs^dccroissante ; On déduit ,de Fa définition même", la série.dés égtflites ' . • 4 ' t
et;
en a n — *
Soit ‘Z ce terme ; on a la fprmylé l^= aq"^'- ,-ÿiu ntoyéft de laquelle on peyt obtcnirla vdlaqr *d’0n’ ternjé quelconque^ .sans passer parstoys tes Jerrfcqs quiijprpeldeSt; Par exemple», 4e 8° , terme de la progression • • * • ■ " • ■ . ' ,• • . • • ; .
, , vl - r ' . *«:V * •' •• 'V "• < ' .*•
est égal a . -, ; • . •
De même, le 12” terme dq l’a progression . . .
' K - » « ^ WL,
est égal à
U/ ’ 4“ . 4* IsEB
193. Soit maintenant proposé de. déterminer la somfne des n premiers tepues ;de la progression \ . -, J.
l désignant le nième terme. , ‘ ,
On a (n° 192) les égalités
h=zaq, c=hq, tiz=cg, e=dq k=ziq, l<=hq ;
2Q0 . nés rnçMiïssiOas inhüies
(K ou Von dédiât,, en les ajoutant membre à mftubîe,
V «^e+dJV:«+.—+‘fe + ^= (<r+^c+d,+-..i.-t-»4''*k> .
ou bien , représwUapt par S la somme demandée
ou
. . V‘*S?— S=lq*-ri “Ion* S%*7^Ti
5 C est-à-dirô qtie , pour obtenir la somirfe d?un nombre déterminé de. termes d’une progression par qfcotient , il ‘faut muttiplien le A^i.r ferme var la rai so fl ,■ retrancher du produit Je jirvnier
gf ft T-.^ afm cjoe Jes dejf\tejmes$e la fractioh soient-pofififs. i*** .qf 'v - V * r, * ** - . •
L«s deux expreSsions do’S ^ejriennepfenÈpre, pprda substituai ’ *' . , n(gh — li) . » fl(tl — O") •
trou* de aqh~l à la ^ace de = pp * etS = ' 1 ’
On trouvera , d'après ies.fbritnil.ca précédentes ,
1“ Pour la spmrtie des 8 premierii ternies delà progression
, : 18:>&4.. .. :2 x3? ■ ou 4874,
2° Pour la somme des '12 preitiiers termes de la progression
1 *>.'■ ,/ 64 ëlÏ5éü-4
On voit que la. difficulté principale consiste à déterminer la valeur numérique du dernier terme, opéi&tiun très laborieuse lorsque le nombre des termes est considérable.
