DES PROGRESSONS INFINIES
Utiles; car la somme d’uïi n'olnbre'déternjinë de fermés étant (n* 193) S= j -i- ^ r U seconde partie ^ - augmente
dé plus en plus numériquement à “mesure qUe n aûgruente; c’est-à-dire qu’au contraire, plus on prend de- termes, plus . l'expression de la somme de ces termes diffère numériquement
die
La formule S= ^ ^ est seulement , diurs qe cas, t’expres-
sion algébrique qui, par**on développement', donne lieu à 1» série a + oj,+àÿ,«t-rfjt. . . . . « "
Il se présente. ici une cireons tance fort singulière au premier
abord. Puisque ~ — — est IaJrnction génératrice dq la série dont
nous Venons de paner", on . dpit avoir, • .
±a + àq + aq', + aq'i+*iql* + .
, Or, " en faisant dans «ette' égalité , a= 1 , .q = 2, On trouve
. V . f ' q ou- — 1 ^=1 +2*fc4-{-8 + 16 + 3^-{;v,"r .
équation don U le premier nterabpé est négatif, tandis que le second semble- positif, et d’autant plus grand que q est lui-même plus grand. . • ’ - , " ,
Pour interpréter oe résultat, observons que si, dans l’équation'
■z = a + aq + aq* + . . . , on arrête la. sene a un. certain
. ferme , il faudra , pour qife l’égalité subsiste,- oàmpléter le quotient. Ainsi, en s’arrêtant1, par exemple, au quatrième terme, a23,
l*r reste + aq V w + aj’ 3e q- o23
a + aq + aq1 q- a23 + — —
' . sv,
Ht
tr/Limü-
,PA(f,QUH-IEΫT.
oh doit fljoûter quotient obtenu Keif/rewioii fiuqtioLjinaire
, ce t|»i clonnef rigoütcysejnent . '
rîî* J
= •***+<* *«rt ïp^’ • > ; . *: -
Si maintenant bn fçit, dflns cdlteiéquation exacte, a^=l, q==3,
il vient — 1=1 +2 + 4,+ 8-f ==.I + 2+4 + 8 — 16; égalité
.* * ' . * / Vn • • :
qui sc vérifie d’ëUe-mème. « *
* • f . . . •# -• j • Lv
En général , -toutes les fois qu’une expression cji # ,\que nous désignerons par J~(x), et qui a-’éiumce Jonction de x, e^t dp-’ veloppée çfl uni». sérié dp la forme a^-&r + cx, + d.rî,+ . , on n’a rigoureusement ’f{x) =a.+Ar + e.rî +<Lr3 + . ; . , . «pu 'autant que Kon conçoit, en s’arrêtant à umeertoirt terrtie<dj»ns lé sçcond membre,' la série cornpléiée panune certaine. expression en x . • .
Lorsque la série est 4ii nombre de celles que^l’éj! nQitime c&nuerr/èntes y l’expression qui sert' à .compléter-, peut être Conçue aussi petite qpe l’on- veuf ; et il, est permis de la» négliger. aii-delâ d’un certain te crue de la série-?.*). .• * ’• >* .
198. Remarque. Noùs terminerons les principes relatif' aux. progressions * infini es , par l'obsenvatiqn suivante*.:*!! résulte de la définition dés progressions par quotient (jirt 191),’ fjp’en.’pcut , les regarder comme des séries réourrentps d.u .premier ordre, dont. Y échelle de relation est la raison de la progression. (f%tjez rt° 184.) Ce rapprochement est propre à faire cohnaître l’origine, des progressions, prolongées à. l’infini. Elles doivent, comme les’ séries récurrentes en général, leuï’naissatiee 'au développement d’une fraction algébrique en’série. Nous avon% donné (n"*-19o eV 196) les moÿens de trouver cet/e f radian générât rire pour les progressions en particulier. Nous verrons plus "loin les moyens, de résoudre la même qnestion pour toutes les .$érje$ récurrentes.
199. La considération Hes cinq quantités a, "q, n; l, et.S, qui
(‘) Voyez à la fin de ce chapitre une mite relative à la convergence de» séries.
