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équation du' degré n que nous' n’ayons point .encofe appris à résoudre. * ** '• • •. .■ ' **. '

I! en’ serait, de rtième si l’on • voulait déterminer l et q : on parviendrait à l’équatiori aqn - — Sÿ + S — a^fl,

201. .Enfin , les quatre a.utres problèmes conduisent à la résolution d’é.quatioirs d’une nature tpute particulière : ce sont ceux où n est inconnu ainsi, que Finie des quatre autres, quantités.

D’abord, la seconde formule donne aisément la valeur-de Fane des quantités a, q, l', et S, on f/nctioi» des trois autres; ainsi, tout so réduit à déterïniner n au moyen de la formule l—aqn— *.

* • * • * * • /fl1' , I | ♦

Or cette égalité revient à f = — , équation de la forme

àvî=:S, a et b étant des quantité? connfles.On oppelje ces' sortes 'd’équations., équation» exponentielles , pour les distinguer de celles que. nous avons considérées jusqu’à présent, et dans* lesquelles l’inconnue est élevée à de* puissances marquées par des nombres connus.

Occupons-nous donc de la résOlution. dè ces équations auxquelles-se rattache une des théories les plus importantes des Mathématiques, la théorie des logarithmes.

§11. THÉORIE DES QUANTITES EXPOSEHTIEUÆS ET DES

, ’ ’ , LOGATUTHMEâ.

202. Résolution de V équation a^ == b. La question consiste à trouver l'exposant* 'de la puissance à‘ laquélle il* faut élever un nombre donné a , pour pfouuire un aytre nombre donné b. • Considérons d’nbbrd quelques cas particuliers.

Soit à résoudre l'équation 2r=*=6-i. En plevimtï à scs différentes puissance^ , on reconnaît bientôt que 2G=: 64; 'donc x= 6 satisfait à Téquatioh. ■ • • ' '

Soit enqyre l’équation 3r==2-4«?. On a pour solution ,• x =15. En un mot , tant que le second , membre à sera Une puissance parfaite du nombre donne a ;• x Sera un nombre entier qufed’on obtiendra par l'élévation de a à ses puissapees 'successives à partir du degré 0. - ♦'

Soit maintenant à résoudre Féquatioh 2'’ === G. Eu faisant

DE l’feQCATIO* EXP01*E*TIEU.». ... 290

x = 2 ot X = 3 , on trouve 2’ *= 4 , ej.^1 = U-; d)ou Ton .voit que x a' une valeur comprise entre 2 et 3. ‘

que x a une valeur comprise

Posons donc x = 2,-p — 7* • • .(x'.est alors 1).

On a , en substituant cétte valeur dans la proposée, J,

2f+ * '”= 0, ou (n" 172) 2ax2 f' =6; doiip-.V ts= ^ , ' ‘

ou, élevant*les deux meihbres à la puissance x', Lg) t =?■= % Pour déterminer x', faisons smccessîvement x' =; 1 , x' — 2 ; on troys'e ^ , ou | 2 , et ?u| >2;

Ainsi x çst compris entre 1 e£2. ' ’ • ‘ ; ' '

Posons éonc x' =5 1 + JT • • (x« esJ aussi^v 1).

On obtient, en sübstituaht d&ns l’équation exponentielle en x',

gu , réduisant,

X,es hypothèses x" =’l .et x" = 2 ,■ donnent ou ^

/|\i Ig g * . *

et ( .) Ainsi x est compris entrp 1 et 2.

Soit donc . x" = 1* + — — : il en résulte

AV^T*7 3 4 /l.\ -777 »

d ou réduisant, •• * - t . *

Si l’on fait successivement x”' = 1 , 2„ 3 , on trduve , pour

les deux dernières hypothèses , ^ ^ ^ <C î .-jr g >

==~= 1 > 1 + j, j ainsi, x'" est compris entre

2 ef 3,