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ttésOinnos 1

*, Soit x*" 2^- — ; l'équation en x*' devient

JT1*

et par conséquent, = g-

En opérant sur cette équation exponentielle copime sur le» précédentes, on trouverait deux nombres entiers A- et k + 1,

entré lesquels x" serait compris. Posant x" == A>+ — , on dé-

terminerait x’ comme on a ^déterminé x1' j et ainsi de suite.

- ' Rapprochons actuellement les équations .

x = 2 + 11x'.^l+,ir,x''^.l +4-,x'''==2+4------- i

X xU ' Xin n . Xly

nous ohfenqns la valéutde x sous la*forme d’tiné fraction continue • • . • ■ . . . * .

T xlv.

Or on sait (i^r/fA., n° 175) çpve,.dans une fraction continue, plus^pn, prend de parties intégrante?, plus pn approthe de la valeur du fibmbre réduit en frqctiorj continue*; "Ainsi , l’on

• poiirra , par eu moyen , , trouver la valeur de. x propre à vérifier l’éqdation 2f —,■(>. ‘sinon exactement, durriipliis avec tel degré d'approximation- que- l’op voudra.- ,

. Par exemple, en fornfant.les quatre premières réduites., d’a- ' près 'la* lo)' établie en /iri/hmc/iqar, n° ICO, on trOuve

... * ’ i ï.» r. 2’ Ti

et la réduite fie diffère [ Àrith., n° 174) de là valeur de x,

Digiti

dï l’équatios expohestieue.- * 301 •

que d’une quantité moindre que ^7 ou ;p. -Mais l’apprqxima-

tion est encore plus grande; car si Fon calcule la valeur de t",

; /2S6\*lv 9 , ! '

d’après 1 equation-^^jy = g , on Tèconnaitra que x" est

compris entre 2 et 3 ; ainsi x" =é= 2 + -i- ; donc la 5e réduito 13x2 + s « si .. .-is ; *

C8t -v 'n — 011 là- Ainsi , — diHere de 1» valeur de x, d une

' i . *i*' ... ' . si * »*,

quantité moindre que ^ , ou ^ Là réduite -gendifferp

de moins que -^T ou -

‘ 203. - Voici la méthode générale : Stlit à résoudre l’équation - ' • ■■ a* = 6, " • : ‘

a et b étant deux nombres absolus plus grands que 1, et a étant supposé b. ■ . t . . . • . ,

En formant lqs puissances successives de a, pq tçouve que 6

est compris entre an et an+‘; alors on «fait.*. j^=n*+ — ;

substituant cette valeur dans l’équation , otj obtient a x‘ —b,

équation qui reviènf à an X- ar’ ==à, d’où —a,

ou , posant , pour plus de simplicité , ■— == c ,

Opérant sur cette équation copinie sur la proposée, bn reconnaîtra que la Valeur <ie x! est comprime Cntre n et h’ + 1,

ce qui donnera x =n’ + — ;

substituant cette valeur dans l’équation ch'i', on sera encore

conduit à résoudre iftre équation de la forme

diM = c ,

d ayant pour valeur —-g ainsi de suite.

aos

RÉSOLUTION

•Donc enfin I’üh obtiendra , pour fa valeur de z, une expression dëia forme,

En poussant la $uite des opérations convenablement, on aura ta vateur de .r’avec -tel degré d’approximation que l’orTvondra ; et ce degré pourra toujours s’est i pi er , puisqu’il est marqué ( Artth ., n? J 74) par 3e quotient de V unité divisée par le carré du dénominateur de la demihra réduite à laquelle om^era parvenu.

204. Remarques. 1° Si, dans le cite de a > 1 et b > 1 , on suppose b a , comme on*a a0 = 1 (n° 24/ et a' — a, il s'ensuit que .r est compris entre G et b; il faut alors commencer q>ar

poisr'ïi? t-i •* .

Cq|a revient à faire n = 0 dans le calcul précédent.

2“* Si l est une fraction, et que, a soit plus, grand que l’unité, la valeur de x est nécessairement < 0, ou négative ; ainsi il faqt poser dans Véquatioh a* = b, x = — y, ce qui 'donne , a— y'szzbj d ou (n° 171) a? — ^ j ,

et comme ôn a . > . 1 , on déterminera y .d’après la méthode

ci-dessus ; alors la valeur corrqppondante de x sera égale à celle de y, prise négativement. ^

. 11 en est de’même si l’on a b 5> 1 et a <[ 1. , ^

Au môyen de ces remarques , l’application de la méthode n’offre aiicun^ difficulté-. Seulement les calculs, pour obteüir un grand degré d’approximation , sont assez laborieuje.

Ou peut , au reste , s’exercer sur les exemples suivons :

- . v • g.r — : 15;. . .x:= 2„485 à.0,P01 près, * ’

IQjt =; 3;...x =; .0,477 à -0,001 près, 7

gr == — 0,28 à 0,01 près,

(IX = -Z...X =■• 0,53 à 0,01 près.