IV
•' • iis l’sçïaviox ExfrosEnnsué. 303
On, suppose ici que l’on nitcohiCrti en frnOtibne dépirnsrl^s les réduites fournies par la méthode. • >
20#. Ôn peut demander si, ch suivant k méthode précédente, on sera- couduit à une îroctfan continue d’un nombre limité de fractions intégrantes, ce qui donnera pour x un «ombre ei?OT77»#»*«raWret«égal à la dernière réduite de la fraction continue ; ou bien , s'î lè nombrp des fractions intégfcmtês d«it être illimité, auquel cas j» sera incommensurable.
Pour répondre à cettp question, supposons dflns l’équation
aT—l,x égal à un nombre coimpensurable ~ , et vivons tjuelle
relation il doit exister entre les nombres a et £ pour que cetlé valeur poisse ètee admise , c’est-à-dire pour que x soit commensurable ; “ ■ ’• ••
Soient , en premier liea , a et.£ deuj^çmmbres entier* ; oïl n . •
lequatioqja" =£, qué l’ottp.eut mettre sous la forme am ab B*'.
il egt d’abord évident que cette égalité ne peut sulépstèc qu’autailt que a et £ sont composés des mêmes fqctémra prômiers; car, si l’on suppose dans £ un facteur premier qui rie se-troirve pas dans a, et qu’on divise les d'epx membres par ce faetpur, le second fnçmbre sera un nombre entier, et le premier un nombre fractionnaire, ée qui esf absurde,; don«, si l’on a,
par exemple, . a — aPS/yy?’, ,
• • * , * on doit avoir aussi A =, 9)’ y? i*' . -. •
Substituant ces valeurs dar\s l’équation am == bn , on la change
en ceHe-ci : a’,P&n"lÿ"rfi"'x =-<tny Ïns' .
Gctte douyelle égalité ne-péut évidemment subsister qu’autant que- les puissances d’un même facteur premier sont égales dans les deux membres ; car, si elles étaient inégales , en divisai^ les deux menjbres par -la plus haute puissance, on serait ertbore conduit à ce résultat absurde : un nombre entier égal à u\,noqibre
fractionnaire. ' •» ”
- Ainsi , l’on doit avoir séparément
• -* * • «■ - ' v *• nrp =e np\ mq = nq , mr = nr, ont = ns’, ‘ V !
d’où l’on déduit — == = — = — ,
304 RÊSOIXTION'DE l’ÉÔT>ATION«EXrOSKSIlEfclE.
Diÿtc, ppur-que Ifl valeur dê x. soit coirunensb râble], ji faut et il suffit //ue à et b noient composés des mêmes facteurs premiers , et que lef éfjiosans de ces fadeurs forment entre eux une fuite de rapports égduf. Si ’ces deux conditions sont sfttisfaites , la Valeur de x clt égale* aü rapport constant qui’ existe éalre4les
V '.** * • *’ • . * ' ‘ * àt » .. •
exposais. * r . . * ‘ # *
Supposons, b ri second fieu , que a et b soient.fractionpaires ét
esaux à TT,* I équation a"‘ = b* devient * • '
(jy)", d’où h"'k’è'=x h’n'k".
Or, k et ii pouvant toujours êue regardas comme’ preftiors entre eux , aussi bien que,A et k', H en est dé rpême de hm et h''p, A* et k'n ; ainsi , pour tyie L’égalité précédente subsiste , il ijait qqe l’on ait séparément 1Cm — kn, A'™= h'*, ce qui cônduit à dès conditions semblables à celles que notas ayons établies*e\-8essus, entre le* nu (aérateurs et les dénominateurs respectivement comparés entre’ euir ' > * '
• * • Ji * h * »
N. II. Si l’on avait l , mais p<^ 1 , ou réciproquement,
il faudrait d’abord changer le signe de x dans l'èquation exponentielle ax '= i (ce qui revient « renverser celui des 'deux
nombres , -p que l'on suppose 1 , eu conservant x positif ); h k •. ' ,«* ,
puis on établirait les relations précédentes.' • , ,
206. Cas particuliers. 1° SI a et A, étant des nombres^ entiers^
ne renferment qu’tin. seul' fqcteur premier, le même pour les
deux , x est-iiécessqirement commensurable. , ,
Sùit l'équation '4*i= 32 qui revient à 23J: =^25;
il en' résulte 2x = 5 , d’ou x =
Soit encore ST^œSlB?, ou 33->' = 37;’, on ai=,. f " t . * 3
2° Si a n’est composé que de fadeurs premiers élevés à la première puissance , il faut que b soit une puissance parfailo.de
