THÉORIE DES LOGARITHMES

a pour que x soit commcnsurable ; en sorte que , dans ce cas , x est entier, ou bien, incommensurable.

En effet , sept a = aSyd, d’oq b =r aV'S/l'yC1^' ; l’équation a"‘ — bn devient a™S'"yn>jm — ap'nS</rnyr’nj*r„ . d’où l’on déduit m — p'n = q'n = r'n — s'n , ou bien , p' = q' = r' = *' ,* donc b — aP’Sp>yP'fp' = (aSy $)p' = ap', et par conséquent x=xp\

Soit , par exemple , a = 10 = 2x5; v

il faut que b soit une puissance parfaite de 10 pour quex puisse être commensurable.

Théorie des logarithmes.

207 . Introduction. Si l’on suppose que, dans l’équation œT=y, a conservant toujours une même valeur positive, on remplace y . par tous les nombres absolus possibles, on pourra, pour chaque valeur dey, déterminer par la méthode du n° 203, la valeur de x , sinon exactement , du moins avec un aussi grand degré d’approximation que l’on voudra.

Supposons d’abord a > 1.

Si l’on fait successivement 0, 1, 2, 3, 4, 8..* v

il en résulte’ y = a°, oui, a, a % a3, a4, a5...;

donc , toutes les valeurs de y plus grandes que l’unité sont produites par des puissances de a , dont les exposons sont positifs , entiers ou fractionnaires ; et la valeur de x. est d’autant plus grande que celle de y est elle-même plus grande.

Faisons ensuite x=0, —1, — 2, —3, —4, —8..., il en résulte y = a0, oui, . JL i J., .

donc, toutes les valeurs de y plus petites que l’unité, sont produites par des puissances de a , dont les exposons sont négatifs ; et la valeur de x est d autant plus grande , numériquement , que la valeur de y se rapproche plus de zéro.

Soit, au contraire, a l et égal à une fraction ~ ;

• THÉORIE

en faisant

on trouve y = ( -

-J, ou

et , si l’on fait

on obtient y = f-

/) ’ ou

c’est-à-dire que , dans l'hypothèse de a 1 , tous les nombres sont engendrés avec les diverses puissances de a, dans un ordre inverse de celui où ils le sont lorsqu’on suppose a > 1.

Mais il n’en résulte pas moins cette conséqnence générale , que tous les nombres absolus possibles peuvent être engendrés avec un nombre absolu, quelconque , mais constant , que l’on élève à des puissances convenables.

N. B. Il faut toutefois supposer a différent de l’unité, car on sait que toutes les puissances de 1 sont égales à 1.

208. Cela posé , concevons que l’on ait formé une table renfermant, d’une part, tous les nombres entiers, et à côté de ces nombres, les exposons des puissances auxquelles il faudrait élever un nombre invariable , pour former tous ces nombres; on aura l’idée d’une table de logarithmes. '

On appelle, en général, logarithme d’un nombre , l’exposant de la puissance h laquelle il faut élever un certain nombre invariable pour produire le premier nombre. .

Le nombre invariable peut d’abord être pris tout-à-fait arbitrairement (pourvu qu’il soit > oii <£ 1 ) ; mais une fois choisi , il doit rester le même pour la formation de tons les nombres. On l’appelle, pour cette raison , base du système de logarithmes.

Quelle que soit la base que l’on a choisie , le logarithme de la base est l’unité, el le logarithme de 1 est 0.

En effet, on a 1" a'— a, d’où logo =1,

2° a° — 1 , -, d’où log 1=0.

- (On désigne ordinairement, pour abréger, le mot logarithme par lés trois premières lettres log , ou simplement par la première lettre /., que l’on fait ordinairement suivre, d’un point et du nombre que l’on considère.)

DES lOCABlTHIBS.

Voyons actuellement de quelles propriétés jouit une table de logarithmes , par rapport aux calculs numériques.

209. Multiplication et division arithmétiques. Soit d’abord une suite de nombres yKy', y", y"' • • • • à multiplier entre eux. Désignons par a la base d’un système de logarithmes ( qu’on suppose déjà calculés) et par x , x\ x", x"' . . . les logarithmes de y, y', y", ÿ" ....

On a, d’après la définition (n° 208), cette suite d’égalités y = ax, y' = aT', y" — ax", < y"' == a*"' ....

Multipliant ces égalités membre à membre , et appliquant la règle des exposans établie n° 172, on trouve

yy'y’Y' . . . — 0j>»-x'+a"+vr,"-j- ....

Donc, logyyY'... = x+x' + i"+... = logy + logy' + logy"-F... c’est-à-dire que Te logarithme d'un produit est égal à la somme des logarithmes des facteurs de coproduit.

Soient, en second lieu, deux nombres, ÿ et y', à diviser l’un par l’autre, x et x' leurs logarithmes. On a encore les équations

y — ax, ÿ — ax' ; d’où l’on déduit (n° 172)

Donc,

l°g ■L—x — x' = \o%y— log y'-.

c’est-à-dire que le logarithme du quotient d’une division est égal à la différence entre le logarithme du dividende et le logarithme du diviseur.

Conséquences de ces deux propriétés. Si l’on a une multiplication à effectuer , en prenant dans la table les logarithmes des facteurs et faisant la somme de ces logarithmes , on aura le logarithme du produit; donc, en cherchant ce nouveau logarithme dans la table et prenant le nombre qui lui correspond, on obtiendra le produit demandé. Ainsi, par un q simple addition, on trouve le résultat d’une multiplication.

De même , si l’on a à diviser un nombre par un autre, il faut retrancher le logarithme du diviseur de celui du dividende, puis chercher à quel nombre correspond la différence : c’est le quotient cherché. Ainsi , par une simple soustraction , on obtient le quotient d’une division.

THÉORIE

210. Formation des puissances et extraction des racines. Soit,

en général , un nombre y à élever à la puissance - ; désignant

toujours par a la base, et par x le logarithme de y, on a l’équation y = ax,

d’où , élevant les deux membres a la puissance — ,

m fn

yn = a" .

, - m jn

Donc , log ÿ‘ — —.x — — .log y;

c’est-à-dire que le logarithme d’une puissance quelconque d'un nombre est égal au produit du logarithme du nombre par l’exposant de la puissance.

Soit, comme cas particulier, n=l; il en résulte......

log ÿn = m. log y, équation susceptible d’un énoncé analogue au précédent. ^ , ,

Soit m=l , n étant un nombre entier quelconque ; il en résulte

, log y" ou log ]/ y--.log y;

c’est-à-dire que le logarithme d’une racine de degré quelconque d’un nombre est égal au quotient du logarithme de ce nombre divisé par l’indice de la racine.

Conséquence. Pour former une puissance quelconque d’un nombre , il suffit de prendre le logarithme de ce nombre dans la table, de le multiplier par l’exposant de la puissance, puis de chercher le nombre correspondant à ce produit; on a ainsi la puissance demandée.

De même , pour extraire une racine , il suffit de diviser le logarithme du nombre proposé par l’indice de la racine, puis de chercher à quel nombre correspond le quotient; on a la racine demandée. Ainsi, par une multiplication et une division généralement très simples , on trouve le résultat d’une formation de puissance et d’une extraction de racine, opérations dont les procédés ordinaires sont, comme on l’a vu, très laborieux.

211. Les propriétés qu’on vient de démontrer sont indépendantes de l’espèce du système de logarithmes adopté; mais