DES EXPONENTIELLES EN SÉRIE

ou bien, remplaçant 3 par sa valeur a — 1,

On représente ordinairement par k l’expression

—j 1 g — . . ainsi, substituant k à la place

de A, dans les valeurs trouvées pour B , C , D . . . . , et reportant ces valeurs dans la série (1) , on obtient enfin

, hx k* jr’ k3x* A4x4

or = 1+T+TT2 + ITO+ 1.2.3.4 +

Tel est le développement de l’exponentielle a* en série.

228. Conséquence ». Si, dans cette série, on suppose x=l, elle devient

d’où l’on voit que a est exprimé en fonction de A, de même que la relation A=° 1 — — - * ^ — p donnait k en fonction

de a.

Cela posé , cherchons la valeur particulière de a , qui correspond à A= 1, et désignons par c cette valeur particulière ; nous trouvons

C==l + î +0 + ÏTO"f1.2.3.4+

série décroissante (*), dont les 11 premiers termes donnent pour somme ,

2,7182818 à 0,0000001 près.

La comparaison de ce résultat avec le nombre obtenu n” 226 , pour la valeur de e, base du système népérien , semble indiquer que c et e sont identiques ; or, c’est ce qu’on peut démontrer immédiatement.

(*) Voyez la première note placée A la fin de ce chapitre.