Passons à la multiplication des polynômes

Soient d’abord deux polynômes a + è+e et d+/, composés de termes tous additifs j on peut présenter le produit sous la forme (o + 4 + c) (d-\-f). Mais on a souvent besoin de former un seul polynôme de ce produit indiqué, et c’est en cela que consiste la multiplication de deux polynômes. ' '

Or , il est évident que multiplier la somme a + b + c par

WClT[PUCATIO"f.. '

ti + f, revieét à prendre a + b + c autant de fois qu’il y a d’unités dans d, plus autant de fois qu’il y a d’unités dans f, et à «jouter les deux produits. Mais multiplier a + b + c par </, c’est prendre d fois chacune des parties du multiplicande, et réunir les produits partiels , ce qui donne ad + bd + cd. De meme, multiplier « -f b + e par f, c’est prendre f fois chacune des parties du multiplicande, et réunir les produits partiels. Donc enfin (a + A + c) {d,+f)-=ad-\-bd-\rcd-\-af+bf-\-cf.

Ainsi, pour multiplier deux polynômes composes de termes tous additifs , il faut multiplier séparémen t chacun des termes du multiplicande par chacun des termes du multiplicateur , et ajouter tous les produits. a

'Si les termes sont affectés de coeffieiens et d'exposans, on suit les règles prescrites (n° 16 ) pour la multiplication des monômes. Par exemple, ( 3a1 -t- 4aA -t-A1 ) ( 2a 5A ) donne pour produit,- 6 a3 ■+■ 8 a'b -t- Soi5 -t- 1 5aaA -f- 20 ab‘ -t- Bô-1 , ou réduisant, 6e3 -+- 23<rA -t- 22«A’ -4- Si3.

Pour nous rendre compte du cas le plus général , commençons par remarquer que, si le multiplicande renferme des termes additifs et des termes soustractifs , ce facteur exprime une différence entre le nombre d’unités marqué par la somme des termes additifs et le nombre d’unités marqué par la somme des termes soustractifs. Même raisonnement par rapport au multiplicateur. D’où il suit que la multiplication de deux polynômes quelconques est ramenée à la multiplication de deux binômes tels que a — b, c — d; a désignant la somme des termes additifs, et — A la somme dés termes soustractifs du multiplicande; il en est de même de c et de - — d, par rapport au multiplicateur. Voyons donc comment on peut effectuer la multiplication exprimée par ( a — h) {c — d). - < . ;■

Or, multipliera' — b pare — d revient évidemment à prendre a — b autant de fois qu’il y a d’unités dans e , moins autant de fois qu’il y a d’unités dans d, ou bien ; à multiplier a — b par c , et à retrancher du produit celui de a--1 A par d. Mais multiplier a* — b pare , revient à multipliera para- — b (en vertu du principe énoncé n° 16), ce qui donne ea — cb , ;oit; ac — Ae; De même, le produit de a — b par d est ad - — bd; et comme on vient de voir que ce dernier produit doit être retranché du précédent

«DLTIPUCATKW.

ac — te, il faut(n° 14) changer lés signes dead — bd, et l’écrire à la suite de ac — 6c, ce qui donne enfin

(o — A) (e — d) — (ic — le — ad- t- bd.

■ Pour peu qu’on réfléchisse sur la manière dont ce produit vient d'être formé, on verra qûe, dans taule multiplication, si Von considère tous les termes additifs du multiplicateur, il faut multiplier chacun des termes du multiplicande , tant additifs que soustractifs , par ces termes, et affecter les produits partiels de signes semblables à ceux dont les tonnes du multiplicande sont affectés ; et en considérant les fermes soustractifs- du multiplicateur, multiplier de même chacun des termes du multiplicande, tant additifs que soustractifs, par ces termes; mais affecter les produits partiels de sipnes contraires à ceux dont les termes du multiplicande sont affectes. Quant à la multiplication pàrtielle d’un terme du multiplicande par un terme du multiplicateur, on suit les règles établies pour les monomes (n° 16).

. Soient, par exemple, les deux polynômes

4 a5— Sa’A — 8 aA’ -e-%b\

■ et 2a’ — 3 ah —4 b\

8a5 — 10 a^A — 16a3A’ 4- 4a’A3 — Ï2a<* 4- lSa’i? 4- 24a'A3~-6aA4 . 16a?A’4- 20a>A3 -t-32aêl — 845 - ^ ; \

8 a* — 22friA -*• l7a3A’ 4- 48 a’A3 4- 26 ab'> — 84*. '

Après avoir disposé les polynômes l’un au-dessous de l’autre, on multiplie chacun des termes du premier par le terme 2a’ du second, ce qui donne 8as — 10a 14 — 16a3A’ 4- 4a’ A* , polynôme dont lés signes sont les mêmes que ceux <lu multiplicande. Passant ensuite au terme 8aA du multiplicateur, comme ce terme est affecté du Signe — , on multiplie chacun des termes du multiplicande par ce terme, en ayant soin ‘d’affecter chaque produit d’un signe Contraire à celui du termè correspondant du multiplicande, ce qui donne — 12 a'tA +- 15a3A’ 4- 2-5a’A3^-6aAt 1 produit que l’on écrit au-desspus du preniier. >

On fait la même opération par rajjport au terme 44’, qui est aussi soustractif, ne qui dorme — 1 6a3A"’ h- 20a "A3 4- 32a4i — 845.

REMARQUES SUR LA BOLTIPI.ICATIOK. 10

On fait ensuite? la réduction dès termés semblables , et l’on obtient enfin pour l’expression la plus simple du produit,

La règle des signes, qui «st la plus importante à retenir dans la multiplication de deux polynômes , peut s’énoncer ainsi : Toutes les fois que les deux termes du multiplicande et du multiplicateur sont affectés- du même signe, le produit correspondant est affecté du signe ■+• , et lorsque les deux termes sont affectés de signes contraires , le produit est affecté du -signe * — . .

On dit encore, en langage algébrique, que -+• multiplié par -t- , ou — multiplié par — , donne -+- , et que — multiplié par -+- ou h- multiplié par — , donne — . Mais ce dernier énoncé, qui n’ofire aucun sens raisonnable en lui-même ( puisqu'on ne sait ce que signifie : multiplier entre eux des symboles , non de quantités, mais d’opéra'tions arithmétiques), ce dèrnier énoncé , dis-je , doit être seulement regardé comme une abréviation, du précédent.

Ce n’est pas la seule ciréonstonce où les algébrisles, pour abréger le discours, emploient des expressions incorrectes, piais qui ont l’avantage de mieux graver les règles dans la mémoire. ' ■ . « , - '

Nous proposerons pour exercices les exemples suivans :

1er . Exemple. 3a3 — Sbd -+- cf

S«i’ -+■ hbd — Qçf .

Prod. simp. —15 a!' -+- 37 a-l/d — fï%a‘cf — 'lOb'd^-t-hhbcdf — Hof.

2* Exemple., ha? h'1 — Sa1#3*? -t- 8«34e3 — Sa’e3 lobe1

• %,ab‘~r-kabc — 24c' -t- c3

!8aW 1 Oa34 V -+- 28aV, V — Zhalb'f — - 4a’,4V* — ICaWç -4- 12a34ci ■+■ 7 o’43e4 ‘ \ ha'bcr> -+- 14»4'c5 — T3a”eG — 7 abcG.

18. Nous ferons sur la multiplication algébrique plusieurs remarques fort importantes. '

Premièrement. Si les polynômes qu’on se propose de multiplier l’un par l’autre sont homogènes (un IL), (,et la plupart des questions quon cherche à résoudre par le. secours de l’Al-