REMARQUES

gèbre, les questions de Géométrie principalement, conduisent à de semblables expressions], le produit de ce* deux polynôme * cet aussi homogène ; c’est une conséquence évidente des règles relatives aux lettres et aux exposons dans la multiplication des quantités monomes. En outre , le degré de chaque 'terme du produit doit être égal à ■ la somme de* degré* de deux terme* quelconques du multiplicande et du multiplicateur. Ainsi, dans le premier des deux exemples précédens, tous les termes du multiplicande étant du deuxième degré , ainsi que ceux du multiplicateur , tous les termes du produit sont du quatrième degré. Dans le second, le multiplicande étant du cinquième degré, et le multiplicateur du troisième degré, le produit est du huitième degré. Cette remarque sert, dans la pratique, à reconnaître des erreurs de calcul par rapport aux exposans. Par exemple, si l’on trouve que, dans l’un des termes d’un produit qui doit être homogène, la somme des exposans est égale à 6, tandis qu’elle est égale à 7 dans tous les autres termes, il y a erreur manifeste dans l'addition des exposans; et alors on reprend la multiplication des deux termes qui ont formé ce produit partiel,

Secondement. Lorsque’, dans la multiplication de deux polynômes, le produit n’offre aucune réduction de termes semblables , le nombre total des termes du produit est égal au produit du nombre des termes du multiplicande , multiplié par le nombre des terme* du multiplicateur ; c’est une conséquence de là règle ( n° 17 ). Ainsi , que l’on ait 5 termes dans le multiplicande et 4 dans le multiplicateur , il y en n S x i ou 20 dans le produit, En général, si le multiplicande se compose de m termes et le multiplicateur de » termes, le produit eu renferme m x n.

Troisièmement. Lorsqu’il y a des termes semblables , le nombre total des termes du produit simplifié peut être beaucoup moins grand. Mais on remarquera que, parmi les différens termes du produit;- il en est qui ne peuvent se réduire avec aucun autre : ce sont, 1° le terme provenant de la multiplication du terme du multiplicande affecté du plus haut exposant d'une quelconque des lettres, par le terme du multiplicateur affecté du plus haut exposant de la même lettre) 2° h 1er me, provenant de la

Di

SI!» IA' Sim.TlPUCATfOS.

multiplication des deux termes affectés du plus faible exposant de la même lettre. En effet, ces «leux produits partiels doivent renfermer cette lettre avec Un plus haut ou un plus faible exposant que chacun des autres produits partiels; par conséquent, ils ne peuvent être semblables aux autres produits. Cette remarque, dont la vérité se déduit de la règle des exposaus, sera d’une très grande utilité dans la division.

19. Pour terminer ce qui a rapport à la multiplication algébrique, nous ferons connaître différais résultats de multiplication , d'un usage fréquent en Algèbre.

1° Soit proposé de former le carré ou la seconde puissance d’un binôme a+J. On a, d’après les principes connus,

c’est-à-dire que le carré de la somme de deux quantités se compose du carré de la première quantité , plus le carré de la seconde , plus le double produit de la première par la seconde.

Ainsi, soit à former le carré de Ba3 + 8 a’4; on a, d’après ce qui vient d’être dit, (5a3 -t- 8«,A), = 2Sa'! + 80a54 + 65 a<4’.'

2” Soit à former le carré d’une différence a — b.

On a (a — 4)’= (a — b) (a — 4.) = a’ — 2a4 + b * ;

c'est-à-dire que le carré de la différence de 1 deux quantités se compose du carré dq la première., plus le carré de la seconde ,. moins le double produit de la première par la seconde. , '

Ainsi (7a'4’ — 12aè3)’==49aW— 168a3à5 + 14 ia'fc.'?

3° Soit proposé de multiplier a + b par a — b.

On a (a + b) (a — 4)==a’' — b’’. Donc la sommé de-deux quantités, multipliée par leur différence, donne pour produit la différence de leurs carrés. (C’est le théorème démontré n° 8.)

Ainsi (8a3 + 7 a4') (8a3 — 7 ab ) = 64»6 — 49 ajb'r. ,

On peut, en combinant cos différens résultats, trouver les produits de certains polynômes plus promptement «jue par le

procédé ordinaire. Soit-, par exemple, à multiplier

Sa’ — -4a4 + ,34' par 5a' — 4 ab — 34'; si l’on remarque que la première de ces deux expressions est la somme de deux quan-

D1VISI0!» DES MONOMES.

tilcs 5aJ — 4a5ot 35a, que la seconde est la différence de ces deux mêmes quantités, on trouve de suite pour le produit,

(5a’ — \al,y — (35")' = 25 Iti — A0aV> -+- 1 Ga’53 — 954.

20. En réfléchissant sur les résultats de multiplication que l’on vient d’obtenir, on voit que leur composition , ou la manière dont ils se forment à l’aide du multiplicande et du multiplicateur, est tout-à-fait indépendante des valeurs particulières qii’on peut attribuer aux lettres a et 5 qui entrent dàns les deux facteurs.

En principe , la manière' dont un produit algébrique se forrne h l’aide de ses deux facteurs , s’appelle la loi de ce produit ; et cet/e loi reste toujours la même , quelles que soient les valeurs attribuées aux lettres gui entrent dans les deux facteurs.