DE8 EXPONENTIELLES EN SÉRIE

loppement de a*, les logarithmes étant pris dans un système tout-à-fait arbitraire.

Cas particuliers. 1° Le nombre a peut être pris pour base du système de logarithmes. Comme ou a, dans ce cas, la=l,

et k = r^ , la formule devient le

T 1 x' ( 1’^ X3 ( IV aX==l + ÏTe+:TÏ'\Te)+üï7&'\h) +'-'

Tel est le développement d’un nombre quelconque en fonction de son logarithme pris dans le système dont la base est a.

2° Soit le nombre constant e pris à son tour pour base du système. Comme on a alors 1« = 1, d’où k = la, ou plutôt k — l'a, d’après la notation du n° 225, il résulte de cette hypothèse

= i+ j-i'« + râ’(1,a),+T^3*{1'a)î+*

3° Enfin, soit posé a — e, ce qui donne nécessairement

la , .

j- ou k = 1 .

le

La formule se réduit à

x3 t x4 ÏT2T3+1.2.3.4+

Cette série , qui est la plus usitée , donne le développement d’un nombre en fonction de son logarithme népérien.

Nous verrons, dans le dernier chapitre, les conséquences que l’on déduit de toutes ces formules. Mais nous pouvons , dès à présent , faire remarquer comment le développement des logarithmes en série se déduit du développement des exponentielles.

t • la m .

D’abord, la relation ft=— , qui se réduit k k — l'a lorsqu’on prend e pour base du système de logarithmes, donne (n° 227),

OU