SCR LES SÉRIES CONVERGENTES
connue sous le nom de série harmonique ; et prenons le rapport de deux termes positifs quelconques
11 vient
Or, on voit que ce rapport, qui est constamment moindre que 1, augmente A mesure que n augmente et se rapproche de plus en plus de Vtrnité , qui peut ainsi être considérée comme la limite en plus , ou comme le maximum de ce rapport. Il y a donc lieu d’appliquer à la série ci-dessus ce qui a été dit pour le premier cas du numéro précédent; c’est-à-dire que la limite de l’erreur est la somme des termes d’une progression géométrique ayant pour raison l’unité, somme qui est nécessairement infinie (n° 3). Donc enfin, la somme des termes de la série est el/e-méme infinie.
C’est, au reste, ce qu’on peut vérifier d’une autre manière.
En effet, si , dans la série (5) du numéro 225 , on pose 1 -(- x = y, il vient
Soit fait maintenant y = 0 dans cette égalité ; on trouve
Or, on «ait (n° 213) que, dans tous les systèmes de logarithmes dont la base est plus grande que l’unité, le logarithme do 0 a pour valeur Vin fini négatif;
donc la valeur de la série + J + ^ + infini».
Pour. peu d’ailleurs qu’une série tirée de (1) décroisse plus rapidement que la série harmonique , elle aura nécessairement une valeur finie; cary, quelque petit qu’il soit , a une valeur finie ; ainsi il doit en être de même de son développement. Toutefois, pour reconnaître si la série est véritablement convergente , il faut pouvoir assigner la limite de l’erreur commise lorsqu’on s’arrête à un terme de rang quelconque.
Or, si l’on pose y = ^ , s pouvant être un nombre très grand, il vient
Le rapport de deux termes consécutifs est
ê*=i).î=ifOUi£i-.ifi±2y
quantité plus petite que la fraction constante de plus en plus à mesure que n augmente.
. , mais qui s’en approche
On a donc (2e cas , n° 2) pour limite de l’erreur, la somme d’une progression décroissante dont le premier terme est eelui qui suit le terme auquel on
s’arrête, et qui a pour raison le nombre constant -
Cette fraction est d’autant plus petite, et par conséquent la convergence de la série est d'autant plus sensible , que s est plus petit.
Soit, par exemple, x=2, ce qui donne
12==— (2 8”^24"^64"^ÏM"^384'^"'
On a ici
Ainsi , la limite de l'erreur que l'on commet en prenant les 5 premiers
termes pour la valeur de la série totale, est y- - — = j =r —
I — (J - 1 loi
En général , la limite de l’erreur est, pour cette série , le double du terme qui suit celui auquel on s’est arrêté.
S. Nous allons actuellement revenir , tant sur les applications numériques de la formule du binôme, que sur les séries particulières qui ont été déduites des séries logarithmiques ou exponentielles ; et nous ferons voir que toutes les séries obtenues rentrent dans les différons cas examinés ci-dessus.
D’abord la série générale du numéro 174, étant telle que les termes, à partir du seeond , sont alternativement positifs et négatifs, il faut encore s’assurer si les termes vont en décroissant et peuvent devenir aussi petits que l’on veut.
Or, en désignant par p le réng d’un terme quelconque, il est facile de voir que l’on a, pour le rapport de ce terme au précédent ,
, a étant supposé < x;
ce qui prouve que chaque terme de la série est une partie du précédent , plus petite que la fraction marquée par Ainsi , les termes diminuant iodé-
Uniment, la série rentre dans le premier cas du n° 1 de cette note.
Dans la série du n° 177, tous les termes sont de même signe à partir du second.
quantité que 1 on peut mettre sous la forme - — -. — — — . -, on voit que
ce rapport est constamment moindre que - , et qu à mesure que p aug-
Mais le rapport du püme terme au précédent étant
meute, ce rapport approche de plus en plus de la fraction -,quien est par
SCR LU St R! RS COS VERGES TES.
conséquent la limite en plus, ou la valeur maximum. Ainsi, cette série tombe dans le second cas du n* 2 ; c’est-à-dire que la limite de l'erreur commise est la somme d’une progression décroissante ayant pour premier terme celui qui suit le terme auquel on s’arrête , et pour raison lo rapport
maximum
se
En appliquant ce principe au 4e exemple proposé n° 177, on reconnaît
que les 8 premiers termes de la série donnent la valeur de (/ 108 à moins de 0,00001 pris.
En général , on peut démontrer que la série qui représente le développement de (l-j-s)"* est convergente tant que s est une fraction positive ou négative, m étant d’ailleurs différent d’un nombre entier et positif. Mais cette démonstration, qui n’offre aucune difficulté d’après les principes établis ci-dessus, nous entrainerait trop loin, et nous la proposons comme exercice. 6. Passons aux séries logarithmiques et exponentielles.
La série
1' (Ï + 1) — Vy=y~ +
obtenue n°225, rentre dans le premier cas du n° 1 , puisque les termes, étant alternativement positifs et négatifs , décroissent indéfiniment.
Quant A la série du même numéro ,
Y (s-J- 1) 1' s = 2 (às 4-1 "^3(2x-f-l)J 5(2x4- 1)s
on a, pour lo rapport de deux termes consécutifs quelconques,
2n — 1 ‘ (Zx+l)2 °U (2x4- J
ce qui prouve que le rapport est constamment moindre que — — -, mais
qu’il s’en rapproche de plus eu plus à mesure que n augmente , et qu’il a cette fraction pour limite.
La série se trouve donc encore dans le second cas du n" 2. Le rapport
maximum serait ici — — ) — fraction très petite 6i s est très grand.
Enfin, la série qui donne qr (n°227), finit toujours par devenir convergente , quels que soient a et x, puisque le rapport de deux termes consécutifs
est — , fraction qui a zéro pour limite relative à l’accroissement de n.
7. Nous terminerons cette note par une remarque sur la base o du système népérien.
On a trouvé, u» 228 ,
346 KOTK
Or il est aisé de démontrer, 1° que cette série est le développement d’un nombre incommensurable ; 2° qu’elle est convergente , et que pour chacune des sommes partielles des deux premiers, des trois premiers... termes, la limite de l’erreur peut être assignée.
D’abord e ne peut être un nombre entier , car on a évidemment
et cette seconde série est une progression décroissante qui (n° 195) a pour somme Vunilé.
Il suit de là que l +77^ + ^ ■ , + . . . est moindre que 1 , et par consé-
quent que 0 est un nombre qompris entre 2 et 3.
Je dis, en second lieu, qu’aucun nombre fractionnaire exact ne peut exprimer la valeur de e.
En effet, soit, s'il est possible, e égal i - , w et s étant deux nombres
entiers, et n m , mais 1 . En poussant la série jusqu’à ce qu’on parvienne aur termes dont les dénominateurs renferment le facteur n, on aura
ou simplement — = #-J -S,... (2)
(en posant, pour abréger,
“ "I" OM.a-.S 1.2. 3... (»— 1) n ’
Cela posé, multiplions les deux membres de l’égalité (2) par 1.2.3 — n ; il vient
Mais le premier membre de l’égalité (3) est évidemment un nombre entier ; il en est do même de la première partie, 1 .2.3. . .».«, du second membre, puisque tous les termes dont se compose « sont des fractions ayant pour dénominateurs des sous-multiples du facteur 1 .2.3. . .n, par lequel on a multiplié «. Donc, pour que l’égalité (3) subsistât, il faudrait que 1.2.3...».?. fût aussi un nombre entier. Or , cela est impossible , car cetto expression se réduit, lorsqu’on remplace S par sa valeur, A la série
