n + lT

mais on vient de voir que la série entre parenthèses est moindre que -. On a donc ,

e ^TTâTiTTT»»' '

Soit » = 10, ce qui revient à prendre les 1 1 premiers termes dans la série

l+i+ô+ •; ontrouve 6<36»<0'000^3-

Donc la somme des 1 1 premiers termes ne diffère de la vraie valeur de e que d’une quantité moindre que 0,0000001. ( Voyet le n" 228.)

A'. B. On parvient également 4 la limite

en appliquant directement 4 la série (1) le premier cas du numéro 3.

En effet, le rapport du (n-f-l)**1"' terme de la série aii n'*"*» est évidemment

j — - , quantité qui diminue de plus en plus 4 mesure que » augmente.

Donc, la limite de l’erreur s’obtiendra ( n° 3) en supposant que le rapport

« | î rcs*e constant à partir du ( n -J- 1 )<*me terme j et l’on aura pour cette

limite ,

re qu'il fallait trouver.

NOTE sur le calcul de V erreur à laquelle donne lieu l’emploi de la proportion que prescrit l’usage des tables de logarithmes (voyez n° 214, et Arithm., n°267).

Pour calculer les logarithmes des nombres entiers et décimaux qui ne sont pas dans les tables ordinaires, et pour revenir de ces logarithmes aux nombres correspondans , on suppose, 1° que les différences entre les nombres sont proportionnelles aux différences entre leurs logarithmes ; 2° que les logarithmes placés dans les tables sont tout-à-fait exacts.

Or ces deux propositions ne sont rigoureusement vraies ni l’une ni l’autre. Il est donc nécessaire , après avoir fait voir d’abord sur quels principes repose la proportion ci-dessus, de calculer ensuite le degré d’approximation qu’elle fournit et l’erreur qu’elle peut produire lorsqu’on a égard aux deux causes d'inexactitude dont elle est affectée.

1. Premier principb. Soient n -f- 1 et n deux nombres entiers consécutifs, la différence A , ou 1 (n-f-l) — 1 n , de leurs logarithmes , diminue à mesura

que n augmente ; et elle êst toujours moindre que la fraction ji-.

4 Ln «

On a en effet

ce qui prouve déjà que A diffère d'autant moins de I. 1, ou de 0, que le nombre n est plus grand.

Si maintenant on fait, dans la formule du numéro 223, x = — , on trouve

série qui donnera la valeur de A avec un degré d’approximation d’autant plus rapide que n sera plus grand.

Comme on a d'ailleurs ( n° 226 ) A = 0,43. . .<^ , et que la série

î— 4- etc., est (n° 176) moindre que - , il en résulte nécessairement

A Ce qu’il fallait démontrer.

Àn

Soit , par exemple , n — 10000; il vient

CAI, r,U. DK l’erreur DES TABLES DE LOGARITHMES, 349

c’est-à-dire que la différence est moindre que la moitié de l’unité de l’ordre du 4' chiff re décimal.

Ceci explique comment, dans une seule page des tables de Callet, et n partir do 10000, on a pu placer un aussi grand nombre de logarithmes. Chaque page renferme 60 lignes horizontales, chaque ligne 10 logarithmes; et comme il résulte de ce qui rient d’être dit , que les trois premiers chiffres décimaux Sont nécessairement communs , même à plusieurs dizaine e successives de logarithmes , il suffisait d’écrire une seule fois en marge ces trois chiffres, et de placer ensuite à part les quatre derniers qui correspondent à la variation du nombre.

[Comme les tables de Callet s’étendent jusqu’à 108000, on a placé quatre chiffres décimaux en marge , pour tous les nombres au-dessus de 100000 ( parce que l’on a , dans ce cas , A 0,000005), ce qui a permis alors de présenter les logarithmes de ces nombres avec 8 chiffres décimaux au lieu de 7, sans rien changer à la disposition adoptée pour les nombres compris entre 10000 et 100000.]