Enfin, un polynomeétant donné,1 on peut quelquefois

d’après son inspection, le décomposer en facteurs, ce qui est souvent utile. -, , ,

Soit le polynôme 25a4 — 30as5 + 15a’5’ : il est évident que les facteurs o et a ’ entrent dans chacun de «es termes. Ainsi, on peut mettre le polynôme sous la forme 5a' (5a’ — 6a5 + 35’). De même, 64a’58 — 25a"58 se transforme en-

En effet ,. 64a45fi et 25u’58 étant les carrés de 8 a'ty et 5a54, il s’ensuit que 1’expreâsion proposée est la différence de deux carrés, et qu’elle est (n° 19) décomposablc dans la somme des racines de ces carrés, multipliée par la différence des mêmes racines.. i

De la Division algébrique.

22. La division algébrique, comme la division arithmétique, a pour but, étant donné un produit et l’un de ses j acteurs , de trouver le second facteur. • ;

Considérons d’abord le cas de deux monomes.

Soif à diviser 72a5 par 8a'f , ee que l’on indique ainsi : — g- j .

Un demande une troisième, quantité monomc qui, multipliée par la seconde , reproduise la première. Or, d’après les règles

Oigitize

Division des nonoaes. 23

établies pour la multiplication des monbmes , la quantité cher* chée doit être telle, que son coefficient, multiplié par 8 , donne pour produit 72, et que l’exposant de Va lettre a dans cette quantité, ajouté à 3, exposant de la lettre a dans le diviseur, donne pour somme 3 , exposant du dividende. Ainsi , l’on obtiendra cette quantité en divisant 72 par 8, et retranchant de

l’exposant 8 l’exposant 3 , ce qui doiine = 9a3 ; et en elïbt on a 8o3 x9a’==72as. •

On a , d après les mêmes remarques ,

»j.îa ^ c__ Ba^^c^et en effet, 7 ai x $aal>c =*= &$dib'*c }

d’où l’on voit que, pour diviser deux monomes l’un par l’autre , il faut, L° diviser les deux coefficient l’un par l’autre ; 2° pour les lettres communes au dividende et au diviseur, écrire chacune d’elles à la suite du coefficient , en l’affectant d’un exposant égal à l’excès de l’exposant du dividende sur celui du diviseur ; 3“ écrire à la suite et avec leurs exposons respectifs , les lettres qui entrent dans le dividende sané entrer dans le diviseur.

On trouvera, d’après cette règle.

48 aWe'd ... 150aJiJed3

-Sa'Pcd.

( Vogez le n° 2-4, pour le cas oûles exposons d’une même lettre sont égaux dans le dividende et le diviseur. )

23. Il résulte de la règle précédente que la division des monômes est impossible, premièrement, si les coeffieiens ne sont pas divisibles l’un par l’autre; en second lieu, si certains exposons sont plus forts au diviseur qu’au dividende; en troisième lieu, si le diviseur renferme, une ou plusieurs lettres qui ne se trouvent pas dans le dividende* Dès qu’une o,u plusieurs de ces trois circonstances se renôontrent, le quotient reste sous la forme (i un fractionnaire, c est-a-dire dune expression mo-

nôme dans laquelle entre nécessairement le signe algébrique de la division , niais qu’on peut souvent simplifier. " •

Soit, par exemple, 12i i-ih^cd à diviser par 8«'4c’.

On ne peut trouver ici pour quotient un menome entier , c’est-

Division DES HOKOMES,

à-dire un monome débarrassé du signe de la division, parce

que 12 n’est pas divisible exactement par 8 , et qu’en outre

l'exposant de c est moins grand au. dividende qu’au, diviseur.

.. . , - , . 'i 12o4 bxcd

Ainsi, on présentera le quotient demande sous la forme1 ^

mais on peut simplifier cette expression ,en remarquant que les facteurs 4, a5, b et c, étant communs aux deux termes de celte fraction, rien n’empêche de les supprimer; et l'on a pour

, . Sa'1 bd . . . •

résultat , — — — ■ • . > ,

En général, pour simplifier un monome fractionnaire, il, faut, 1° supprimer le plus grand fadeur commun aux deux coefficient ; 2° retrancher le plus petit des deux exposant d'une même lettre , du plus grand, et écrire la lettre affectée de cette différence d'exposant , dans celui des deux termes dé là fraction où l'exposant était le plus grand ; 8° écrire les lettres non communes , avec leurs exposant respectifs , dans celui des deux ternies de la fraction où ces lettres entraient.

On trouvera , d’après cette nouvelle règle ,

48a3êW3 4 ad- 37 abWd ‘Allie la'b 1

ZQa’‘b*c°dè 3 bce 5 6 a3bc^d1 §axd ’ 14«3èJ 2 ab

Dans le dernier exemple, comme tou* les facteurs du dividende se trouvent au diviseur, le numérateur se réduit à Yunifi, parce que cela (revient à diviser les deux termes de la fractiou par le numérateur.

24. Il arrive souvent que les exposans de certaines lettres sont les mêmes au dividende qu’au. diviseur.

Soit, par exemple, à diviser 24 a3è2 par 8 o’i’.;. comme la lettre b est affectée du même exposant, le quotient ne doit pas ' .. . „ ' 24*33>

la reniermer, et Ion a — Sa. Mais pu remarque que ce

résnltat 3 fl peut être nus sous une forme propre à conserver la trace de la lettre l> quia disparu par l’effet de la réduction.

En effet, si l’pn applique , par convention , à l’expression

• ' • ' ' ’ ' fil - * % . ’

la règle des exposons ( n° 22) il. vient y; = b°. Ce nouveau