DIVISIBILITÉ DES PONCTIONS ENTIÈRES

lesquelles, multipliée» membre à membre, donnent

AxB=(F+î)-'. QQ' + (p* + î) (QR' + RQ’) + RR'.

Or, par hypothèse, A x B est divisible par px + q; ainsi le seconimembre doit se réduire à une fonction eptière de x, ce qui exige que RR' soit divisibles panjw+ÿ. Mais cela est impossible, puisque. RR' est indépendant de a- ; donc , pour que l’égalité précédente subsiste, il faut que l’on ait, ou R=0, ou R'=0, c’est-à-dire quo A ou B soit' divisible par px + q. C. Q. F. D.

238. Conséquence.* Toute fonction entiers, D , du premier deyré eh x , qui divise exactement le produit AxBxGxËX... de m fonctions entières , divise nécessairement l’une de ces fonctions.

Ca> , si D ne divise pas A , il doit diviser le produit BxGxEx en.v.erlu de ce qui vient d’être dit; s’il ne divise pas B , il doit diviser C X E X . . .; et ainsi de suite. D’o» l’on voit que D , ne divisant .pas les [m — 1) premiers facteurs, doit du moins diviser le i nilnu facteur.

On déduit de là , comme cas particulier, que D ne peut diviser Am sans diviser A ('D étant qn diviseur relatif du premier degré, et A une fonction entière quelconque).

234. Second principe. Soit Une fonction entière P, résultant de la multiplication d’un nombre quelconque de fonctions entières P', P", P"', . . . . ( dont quelques-unes peuvent être égales ). Cette fonction entière P ne saurait avoir (n" 282) pour diviseurs relatifs du premier degré en x, que ceux qui entrent dans les fonctions P', P", P"', . ou (n® 231) des produits de ces diviseurs relatifs par des facteurs indépendans de x,

Nous pouvons actuellement passer à l’exposition des propriétés communes à toutes les équations.