PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS

P, Q, R, . . .T, U, étant des coelficiens pris dans le sens algébrique le plus général.

«Cela posé, l’on appelle racine de cette équation (l'oij. n" 97), foule expression, de quelque nature qu'élle soit, c’est-à-dire numérique ou algébrique , réelle ou imaginaire , qui , substituée à là place de x dans l’équation , rend son premier membre égal à 0.

286. Une équation pouvant toujours être considérée comme la traduction algébrique des relations qui existent entre les données et l’inconnue d’un problème , on est conduit naturellement à ce principe, que toute équation a au moins une racine. A la vérité, les conditions de l’énoncé peuvent, être incompatibles ; mais alors on doit supposer que l’on en serait averti par quelque symbole d'absurdité , tel qu’une formule renfermant, comme opération nécessaire, l’extraction d’une racine de degré pair d’une quantité négative ; et il n’en existerait pas moins une expression qui, mise à la place de x dans l’éqliation, y satisferait. Nous admettrons donc ce principe, que nous aurons d’ailleurs occasion de vérifier par la suite, pour la plupart des équations (*].

Voici maintenant une nouvelle proposition que l’on peut regarder comme la propriété fondamentale de la théorie des équations. %v»T *• - , ‘

‘ 237. Première propriété. Si a est racine de l'équation..... x"1 + Pxm— 1 + Qx«n— i -p . . . -p U = 0, le premier membre de cette équation est divisible par x — a; et réciproquement, si un facteur de la forme x — a divise le premier membre de la proposée, a est racine de cette équation.

ltn effet, essayons la division, et voyous ce qui doit avoir lieu quand on pousse l’opération jusqu’à ce que l’exposant de x devienne 0 dans le premier terme du dividende.

( Cette opération est de la nature de celle dont nous avons parlé n° 280, puisque a, P, Q'.. ... sont de nature quelconque.) • ... . .

(*) H. Cauchy a. donné, dans ses teçuns à l’Ecole Polyleelmique , une démonstration complote de ccttc proposition ; mais uous ne la croyons pas do nature à trouver place dans les Élcmcns.