PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES

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xm— 3-^-. . »

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Pour peu qu’on réfléchisse sur la manière dont s obtiennent les quotiens partiels, on reconnaît, d’abord par analogie, et ensuite par un moyen déjà employé plusieurs fois (nos 31 et 86)', une loi de formation pour les cocfficiens de ces divers quotiens; et l’on peut conclure, 1° qu’on doit avoir m quotiens partiels; 2° que le coefficient du m‘im“ quotient, c’est-à-dire de x°, doit être

Qm—\. q. p — a q Qof”2 3 q- . . . q- T

T étant le coefficient de l’avant-derpier terme de la proposée.

Donc, en multipliant le diviseur par ce quotient et soustrayant le produit du dividende , on obtient pour rpsto

am + Pam— 1 + Qam— » + . . . + Ta + D.

Or, par hypothèse, a est racine de l’équation; donc ce reste est nul, puisqu’il n’est autre chose que le résultat de la substitution de a à la place de x dans l’équation; ainsi, la division se fait exactement. .

Réciproquement, si x — a est diviseur exact dexm + P xm— 1 + . . ., le reste am q- Pow— 1 + . . . doit être nul; ainsi (n° 233) a est racine de l’équation. •

238. Remarque. En jetant les yeux sur le quotient do la division effectuée dans le numéro précédent , on aperçoit pour les coefficiens la loi suivante : Chaque coefficient s'obtient en multipliant celui qui le précède par la racine a , et ajoutant au produit le coefficient de la proposée , qui occupe le même rang que celui du terme qu’ûn veut obtenir dans le quotient,

Ainsi , le coefficient du 3° terme, «’ q- Pa + Q, est égal à {a + P) a + Q , ou au produit du coefficient précédent a + P , par la racine a, augmenté du coefficient Q du 3° terme de la proposée.

DES ËQCATI0N8.

Le coefficient du 4e terme serait

(a1 -f- Pa + Q) a + R , ou a* + Pa1 + Qa + R.

Nous aurons quelquefois besoin de rappeler cette loi , qui d’ailleurs est facile à retenir.

239. Seconde frofriEté. Toute équation à une seule incotinue , a autant de racines qu'il y a d'unités dans l'exposant de son degré, et ne peut en avoir davantage.

Soit xm 4- Px"'— 1 + Qx™— 1 + . . .Tx + U = 0 , l’équation proposée.

Puisque (n° 236) toute équation a au moins une racine, si l’on désigne par a la racine que l’équation précédente comporte nécessairement , son premier membre est (n° 287) divisible par x — a ; et l’on a l’identité

x», + pxm-i 4... . — (x — a) (x™-‘ 4-P'x'"-» (I).

Mais en posant xm~ 1 4- P'xm— a + . . . = 0 ,

on obtient une autre équation qui a ou moins une racine. Soit b cette racine, on a (n° 237) .

x™— « + P'x™— a + . . . =: : (x — b) (xm~ *+ P"xm— 3+. . .),

égalité qui, multipliée membre à membre par l’égalité (1), donne

x'" 4-Px"'— 1 4-> • • = (x— -a) (x — à) (x"*— l4‘P,'x™~3 + ...).<• (2).

Raisonnant sur le polynôme x”— 1 + P"xm— 3 4- . . . comme sur le précédent, on a encore

xm— 1 4- P"xm-3 + . . . = (x — c) (x"‘-3 4- P'"xm— 4 4- . . J, égalité qui , multipliée par l’égalité (2), donne xm 4-Px171- 1 = (x — a) (x — b) (x — c) (xm— 34-- • •)•• • (8).

Remarquons maintenant que, pour chaque facteur du 1 ”r degré » en x, mis en évidence, le degré de x dans le polyrtorae-quotient diminue d’une unité. Ainsi, lorsqu’on aura fait ressortir vi — 2 facteurs du 1er degré, l’exposant de x sera réduit à m — (>n — 2), ou 2; c’est-à-dire qu’on obtiendra un polynôme du second degré en x, qui ( n° 97 ) est lui-mèmc déconiposablo dans le produit de deux facteurs du Tr degré, (x — k) (x — /),

PROPRIÉTÉS GÊXtBALES

Or, comme on aura déjà mis en évidence ni — 2 facteurs du 1er-

degré , il s’ensuit que finalement on a l’identité

x'" + Pxm— 1 + . . . = (x — a) (x — b) (x — c) . . . (x — k) (x — / ) ,

dont le second membre est le produit de m facteurs du premier degré en x .

Cela posé v puisqu’à chaque diviseur du premier degré en x correspond nécessairement (n“ 237) une racine de la proposée, il s’ensuit que les m facteurs du premier degré x — a, x — b, x — c... donnent pour la proposée, m racines a, b, c. . . . Donc, etc.

Il résulte d’ailleurs évidemment du principe établi n° 234 , que le polvnome xm + Pxm— 1 + . . . . ne peut avoir d’autres diviseurs relatifs du premier degré , que x — a , x — b, . . . x k , x — l, ou le produit de l’un de ces diviseurs relatifs par un facteur quelconque indépendant de x. Donc l’équation elle-même ne peut avoir pour racines que a, b, c . k , l , qui sont les seules qu’on puisse tirer des équations

x — a = 0, x — 4=0,... x — 4 = 0, x — / = 0 , ou , plus généralement, des équations

( M , M', M", . . • étant des facteurs indépendans de x ).

Donc , enfin , toute équation du degré m a m racines , et ne saurait en avoir davantage.

240. Remarque. Il existe des équations qui , en apparence , admettent moins de racines qu’il n’y a d’unités dans l’exposant de leur degré. Ce sont celles dont le premier membre a plusieurs facteurs égaux : telle serait l’équation

qui n’a que 4 racines différentes , a, b, c, d, quoiqu’elle soit du 10e degré.

U est évident qu’aucune quantité a différente de a , b, c , d, ne peut la vérifier. Car l’existence de cette racine a entraînerait celle du diviseur x — «, dans le premier membre,, ce qui est impossible en vertu du principe établi n° 234.

Mais la proposée n’en a pas moins 10 racines, dont 4 sont égales à a , 3 égales à b, 2 égales à c , et 1 égale à d.

Nous verrons par la suite que ces sortes d’équations sont plus

DES ÊQCATIOÎIS, 305

faciles à résoudre que celles dont les racines n'ont entre elles aucune relation déterminée.