DIVISION DES POLÎT NO B ES

symbûle t° indique ( n° 2 ) que la lettre entre 0 fois comme facteur dans le quotient, ou, ce qui revient au même, quJelle ne doit pas y entrer; mais il indique en même temps qu’elle entrait dans le dividende et le diviseur, et qu’elle a disparu par l'effet de l’opération. Ce symbole a l’avantage de conserver la trace d’un nombre qui faisait partie de la question que l’on avait en vue de résoudre, sans changer pour cela en rien le résultat;

car, puisque i° provient de^, qui, d’ailleurs, est égal à 1, il s’ensuit que 3a/>° équivaut Ta 3a x 1 ou Sa. De même

Comme il importe d’avoir des notions exactes sur l’origine et la signification des symboles employés en Algèbre, nous nous proposerons de faire voir qu’en général , toute quantité a , affectée de l'exposant 0 , équivaut a 1 , c'est-à-dire que l'on a

En effet, cette expression provient, comme nous venons de le dire, de ce que a est affecté du même exposant au dividende

Qtn

et au diviseur d’une division indiquée. Ainsi- l’on a a0 = —

( m désignant pour plus de généralité le nombre entier qui sert d’exposant à, a Mais le quotient de toute quantité divisée par

r 1 ; donc aussi l’on a a" ■*= t .

elle-même est 1 ; donc — =

7 am

Le symbole <?" n’est , nous le répétons , employé par convention que pour conserver dans le calcul la trace d’une, lettre qui entrait dans l’énoncé d’une question, mais qui doit disparaître par l’effet d’une division ; et il est souvent nécessaire de conserver celte trace. . . ' s • ' "

Division DE DEUX PÜLYH0ÏE9.

2S. Soit à diviser !»Iaî4J + 10a* — r48 a3i — lS4* + 4«43, par 4 db — fia*- f-343.-

Pour suivre plus facilement les calculs , on peut les disposer ainsi; ' • . .* . .• . •' - • .. .

DIVISION

S U»*A* + 10a1* — 48a3A — 15A4 + iafd \ \ab — Sa3 + SA’

-J- 8a3A — 10a4 + 6a’A’ • J — 2a’ -f* 8aA — BA’

57a'A’ 40aV; ISA'. + 4aA3 — 3$a’A’ + 40a3A — 24aA3

25^’A’— 16AI ■— 20aA3 " .

+ 20<tA3 — 25a’A’ + 18A4 , , ,

Le but de cette opération est, comme nous l’avons déjà dit (u° 22) , de trouver un troisième polj/nome qui, multiplié par le second , reproduise le premier.

Il résulté de cette définition et de la règle établie (n° 17), pour la multiplication des polynômes, que le dividende est l’assemblage , par addition et après réduction , des produits partiels de chacun des termes du diviseur, multipliés par chacun des termes du quotient cherché. Cela posé, si l’on pouvait découvrir dans le dividende, un terme qui provînt, sans réduction, de la multiplication de l’un des termes du diviseur par l’un des termes du quotient, alors, en divisant î’un par l’autre ccs denx termes du dividende et du diviseur, on serait sûr d’obtenir un terme du quotient cherché.

Or, d’après la troisième remarque du n° 18, le terme lOa'i, affecté du plus haut exposant de la lettre a , provient, sans réduction , de la multiplication des deux termes du diviseur et du quotient, affectés respectivement du plus haut exposant de la même lettre. Donc, en divisant. le terme 10«4 par le terme — 5a’ du diviseur, on sera certain d’avoir un terme du quotient cherché. Mais il se présente ici une difficulté , c’est de déterminer le signe dont le terme du quotient doit être «affecté. Pour ne pas être arrêté dorénavant à ce sujet , nous allons cl.iblir une règle qui sera la règle des signes de la division .

Coïnme,.daus la multiplication, le produit de deux termes de même signe est affecté du signe -f- \ et que le produit de deux termes de signes contraires est affecté du signe — , -on peut conclure, 1° que si le terme du dividende a le signe + , et celui du diviseur le signe + , le terme du quotient doit avoir le signe+ ; 2° que si le terme du dividende a le sigue + et le terme du divi-

DES POLYNOMES.

seur le signe — , le tenue du quotient doit avoir le signe — , parce qu’il n’y a que le signe — qui , combiné par multiplication qvec le signe — du diviseur, puisse reproduire le signe +-du dividende; 3° que si le terme, du dividende a le signe — elle ternie du diviscur le signe -f- , le quotient doit avoir le signe — ; 4" enfin , si le dividende a le signe — et le diviseur le signe — , le quotient doit avoir le signe + .

En résumant , on voit que cela revient à dire :

Si les deux termes du dividende cl du diviseur sont de mime signe, le quotient doit être affecté du signe + ; et s’ils sont affectés de signes contraires ,\le quotient doit être affecté du signe — . 0» dit encore, par abréviation,

+ divisé par + , et — divisé par — , donnent + ;

— divisé par + , et + divisé par — , donnent — 1

Revenons à notre objet.

Dans l’exemple proposé, 10a4 et — 5a’ étant affectés de signes contraires, leur quotient doit avoir le signe — ; d’ailleurs 10a • divisé par 5a’ donne 2a’ (n° 22) ; donc — 2a’ est un ternie du quotient cherché. Après l’avoir écrit au-dessous du diviseur, on multiplie chacun des ternies du diviseur par ce terme , puis on soustrait le produit — 8 a34 + 10a4 — 6 a’4’ , du dividende, ce qui se fait en écrivant ce produit , avec des signes contraires, au-dessous du dividende, et en opérant la réduction. Ï1 vient ainsi pour résultat de la première opération partielle,

57 a’4’ — 40 uéb — 1 5M + 4a45..' -

Ce résultat se compose des'produits partiels de’ chacun des termes du diviseur .par chacun des’ termes qui restent à déterminer au quotient. On peut donc le regarder comme un nouveau dividende , et raisonner sur lui comme sur > le dividende proposé. On est ainsi conduit à prendre, dans ce résultât, le terme — 40a34, affecté du plus haut exposant de a , et à le diviser par le même terme — 5a’ du diviseur. Or, d’après les principes précédons, — 40a34 divisé par — 5a’, donne pour quotient + 8a4, nouveau terme qu’on écrit à la droite du premier. Multipliant chacun des termes du diviseur par ce terme, et écrivant les produits avec des signes contraires, au-dessous, du second divi-

DIVISION

dende, puis faisant la réduction, On trouve pour résultat de ta Seconde opération , '

divisant encore 25 a’i’ par — 5a1, on a pour quotient , — 54’ qui forme le troisième terme du quotient. Multipliant le diviseur par ce terme, et écrivant les termes du produit , avec des signes contraires, au-dessous du troisième dividende, puis faisant la réduction , 011 obtient pour résultat 0. Donc, — 2a’-p8a4 — Si’, ou 8ft4— 2a’ — 5i’, est le quotient demandé ; ce qu’on peut d'ailleurs vérifier en multipliant le diviseur par ce polynôme : le pCodirit effectué doit être égal au dividende. . >

En réfléchissant éur les raisonneméns précédons , on voit que, comme, dans chaque opération partielle, .on est obligé de rechercher le terme du dividende affecté du plus haut exposant de l’une des lettres , et de le diviser par le terme du diviseur aflécté du plus haut exposant de la même lettre , on éviterait Cette recherche , si l’on avait le soin d 'écrire a priori tes termes du dividende et du diviseur, de maniéré que les exposons d’une même lettre allassent en décroissant de gauche à droite. C’est ce qu’on appelle ordonner le dividende et le diviseur par rapport à une même lettre. Au moyen de cette préparation , le premier terme à gauche du dividende, et le premier terme à gauche du diviseur, sont toujours les deux termes qu’il daut diviser l’un par ' l’autre, pour avoir un des termes du quotient; et il en est de même dans toutes les opérations suivantes, parce qne les quotiens partiels et les prrôduits du diviseur par ces quotiens sont continuellement ordonnés.

. Voici le tableau des calculs de d’exemple précédent,, après que l’on a ordonné les deux polynômes. .

10a4 — 48a34 + SI ali’ + 4a43— 1544 1 — Sft’ + 4q4 -p gi’

— 10o4 -p 8a 34 -p 6a’4’ j — 2a’ -p 8ai — Si’

— 40a’4 -P S7a’i’ + -loi3 — 1 544 *p 40<t34 — 82 a’i’ — 24 ai3

-p2oa’i’ — 20a33 — 1544 — 25a’4’ + 20a43 + 1544

DES POLYNOMES.

26. De là en peut conclure lu règle suivante pour diviser deux polynômes l’un par l’autre : Après avoir ordonne le dividende et le diviseur par rapport a une même lettre, divisez le premier terme à gauche du dividende par le premier terme à gauche du diviseur ; nous obtenez ainsi le premier terme du quotient ; multipliez le diviseur par ce terme , et retranchez le produit du dividende proposé. Divisez ensuite le premier terme du reste par le premier terme du diviseur, vous obtenez ainsi le second terme du quotient ; multipliez le diviseur par ce second terme, et retranchez le produit du résultat de la première opération. Continuez ainsi les opérations , jusqu’à ce qu’enfin vous obteniez pour résultat 0 ;