Conséquence de la seconde propriété

Le premier membre de toute équation du degré m ayant m diviseurs du premier degré , de la forme

si l’on multiplie ces diviseurs deux a deux , trois h trois, .... on obtiendra ainsi autant de diviseurs relatifs du second , du troisième. . . . degré en x , que l’on peut former de combinaisons différentes avec m quantités prises deux à deux , trois à trois.... Or, ces nombres de combinaisons sont, comme on l’a vun° 147,

exprimes par ni. — - — , ni. — - — . — s — - .... ; et les prow 2 2 o

duits obtenus sont d’ailleurs (n° 234) les seuls diviseurs du

même degré , que le premier membre de la proposée puisse

avoir, à moins que l’on ne considère ensuite les produits de ces

diviseurs relatifs par des facteurs indépendans de x.

Ainsi, la proposée renferme ni. — - — diviseurs du second

degré, m 5 — - — diviseurs du troisième degré; et ainsi

de suite.

242. Composition des équations. — Si, dans l’équation identique

xm +. Pxm— 1 + . . . = (x — a) (x — b) (x — c) . . . .(x — l ),

on effectue la multiplication des m facteurs du second membre (voyez n° 148), et que l’on compare, terme à ternie, les deux membres , on parviendra aux relations suivantes entre lès coelliciens P, Q, R. . . .T, U, et les racines a, h, c,.... k, l, de la proposée, savoir:

— a — b — c. . . . — k — l == P , ou a + i+c....+i + /= — P;

ab 4- ac + • • • • + kl = Q, ,

— abc — abd . ...■*- *kl — R , ou abc+abd. . r. = — R ;

± abcd ... .47 = U, ou abed. . . .kl = dr U.

SGG

TllÉORIE COMPLÈTE

( On a placé un double signe dans la dernière relation . parce que le produit — a x — A X — c . . . X A, est + ou — -abed. . .kl suivant que l’équation est de degré pair ou impair.)

Donc, 1° la somme algébrique des racines prises en signes contraires, est égale au coefficient du second terme ; ou bien, la somme algêbnque des racines elles-mêmes est égale au coefficient du second terme , pris en signe contraire.

2° La somme des produits deux a deux des racines prises avec leurs signes respectifs , est égale au coefficient du troisième terme.

3° La somme des produits trois a trois des racines prises en signes contraires , est égale au coefficient du quatrième terme ; ou bien , le coefficient du quatrième terme , pris en signe contraire , est égal a la somme des produits trois à trois des racines prises avec leurs signes.

Et ainsi de suite.

Enfin , le produit de toutes les racines , prises en signes contraires, est égal au dernier terme ; ou bien, le produit de toutes les racines, prises avec leurs signes respectifs, est égal au dernier terme de l’équation, pris avec son signe si l’équation est de degré pair, et avec un signe contraire si l’équation est de degré impair.

Les propriétés démontrées n° 98, par ràpport aux équations du second degré , ne sont que des cas particuliers de celles qui viennent d'être établies. Le dernier terme, pris avec son signe , est égal au produit des racines elles-mêmes, parce que l’équation est de degré pair.

N. ïî. On a supposé , dans tout ce qui précède , le coeificient du premier ternie égal à l’unité. S’il en était autrement , il faudrait , avant d’établir les relations ci-dessus entre les coefficiens et les racines , diviser toute l’équation par ce coefficient.