THÉORIE COMPLÈTE DC PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR

243. En réfléchissant sur les propriétés précédentes, on aperçoit une très grande analogie entre la recherche des diviseurs relatifs du premier degré d’une fonction entière de x, et la résolution d’une équation. En effet, il résulte de la propriété du n° 239, que tout polynôme Ax'"-f Dæ"‘— ‘ + Cx"'— , + ... + Ta, + U est décomposable en m facteurs du premier degré en x ; or, pour

DO PLIS GRASD COMMOH DITISEl'R.

obtenir cette décomposition , il suffirait d’égaler le polynôme à O et de résoudre l’équation par rapport à x ; et réciproquement , si l’on connaissait les facteurs du premier degré en x qui composent ce polynôme, on connaîtrait par là même les racines.

Si l’on a besoin de savoir résoudre une équation pour obtenir les diviseurs, relatifs d’un polynôme, cela nlest pas nécessaire pour obtenir ce qu’on appelle le plus grand commun diviseur relatif de deux fondions entières . Les analystes ont même tire parti de cette dernière question pour la résolution de certaines classes d’équations. Ainsi , avant de pénétrer davantage dans la théorie des équations , il est nécessaire que nous complétions la recherche du plus grand commun diviseur ; question qui n’a été qu’ébauchée dans le 1er chapitre.

Nous traiterons d’abord le cas de deux fonctions entières de x, après quoi nous considérerons celui où les deux polynômes sont entiers par rapport à toutes les lettres et, aux coefficiéns.

Du plus grand commun diviseur relatif.

2-4-1. Le plus grand commun diviseur relatif de deux fonctions entières de x , est le polynôme de plus haut degré en x, qui divise à la fois les deux polynômes proposés.

Il résulte évidemment de celte définition que , lorsque les deux polynômes ont été divisés par leur plus grand comiùun diviseur, les quotjens résultans ne doivent plus renfermer aucun facteur commun en x; car, s’il en existait un, le produit do. ce facteur par le diviseur déjà considéré serait de degré plus élevé en x que ce diviseur, et serait encore diviseur relatif des deux polynômes.

Cela posé, soient d, d', d", les seuls facteurs du premier degré eux, communs à deux fonctions entières, et supposons que n, p, q, soient les exposans des puissances de ces facteurs, communes aux deux polynômes. Il cs.t évident que le produit d" , d'p, d"'l, est un diviseur relatif commun aux deux polynômes. Je dis de plus que c’est leur plus grand commun diviseur ; car il résulte du principe établi numéro 234 que les autres diviseurs relatifs communs ne peuvent être que des combinaisons

TBÊURIE COUPI.fcTK

2 a 2, S ;i 3, ... . des diverses puissances de d, d', d", dont les cx-pnsnns sont tout au plus égaux à n, p, q.

Nous pouvons donc établir , comme prexieb principe, 1° que le plus grand commun diviseur relatif de deux fonctions entières est le produit des plus hautes puissances de taies les diviseurs du premier degré en x , communes aux deux polynômes ; 2® que tout diviseur relatif commun à doux fonctions entières , divise nécessairement leur plus grand commun diviseur relatif.

N. B. On pourrait encore former une infinité de diviseurs relatifs communs , de même degré que d" x d'P x d"i ; mais ce serait { n° 231 ) en multipliant celui-ci par des facteurs indépendans de x.

213. Srcosd principe. Le plus grand commun diviseur relatif de deux fondions entières est le même que celui qui existe entre le polynôme de plus faille degré et le reste de leur division , ou, du moins, n’en diffère que par un facteur indépendant de x.

En effet, soient A et B les deux polynômes, D leur plus grand commun diviseur relatif, Q le quotient, R le reste de leur division , D' le plus grand commun diviseur relatif de B et de R ; on a l’égalité

d’où l’on déduit , en divisant successivement par D et D', ,

A__BQ R A. BQ II

D — "B" + D Ct D' ~ D' + D' ’

D’abord , D étant diviseur relatif de A et de B, il s’ensuit que

A BQ . , ..... . ...... ..

— et -jj sont des lonctions entières de x ; ainsi , il doit en etre

de même de ^ ; c'est-à-dire que D est diviseur relatif de B et

de R. Donc , d’après le premier principe , D doit diviser D' qui est le plus, grand commun diviseur entre B et R.

Do' même, D', diviseur relatif de B et de R , l’est aussi de BQ et de R, et par conséquent de BQ + R, ou de A. Ainsi, D', diviseur relatif de A et de B , doit diviser D , qui est le plus grand commun diviseur entre A et B.

Les .deux polynômes D et D' sont donc réciproquement divi-