SD PLUS GRAND CORSDR DIVISEUR

sibles l’un par l’autre, ce qui érigé qu’ils soient de même degré, et par conséquent ( n° 2-44 ) qu’ils soient identiques ou ne différent l’un de l’autre que par un facteur indépendant de x.

246. I)e ces deux principes résulte le procédé suivant pour trouver le plus grand commun diviseur relatif de deux fonctions entières :

Divisez le polynôme de plus haut degré en x par le second ; si la division se fait exactement , le second polynôme est le p. g. c. d. cherché. Si vous obtenez un reste , divisez le second polynôme par le reste ; en supposant que cette division se fasse exactement , le reste est le p. g. c. d. entre ce reste lui-méme et le second polynôme, et par conséquent aussi entre les deux polynômes proposés . Si vous obtenez un second reste, divisez le premier reste par le second, et continuez ainsi l'opération jusqu’à ce que vous parveniez à un reste qui divise exactement le reste précèdent , et qui sera alors le plus grand commun diviseur cherché.

Lorsqu’en appliquant le procédé ci-dessus , on parvient à un reste indépendant de x, on peut conclure que les deux polynômes proposés sont premiers entre eux , en ce sens qu’ils n’admettent aucun diviseur commun en x ; car le plus grand commun diviseur relatif, divisant ( n° 245 ) le reste de chaque division , devrait aussi diviser le reste indépendant de x auquel on est parvenu , ce qui est impossible.

Nous verrons (n° 259) les modifications que l’on peut, dans la pratique , apporter à ce procédé , lorsqu’on l’applique à une certaine classe de polynômes.

247. Soit maintenant à déterminer le plus grand commun diviseur relatif de plusieurs fonctions entières A, B, C, E....

Appelons D le p. g.,c. d. entre A et B, D' le p. g. c, d. entre D et C ; je dis que D' est aussi le p. g. c. d. de A, B, G.

En effet, le p. g. c. d. de A , B, C, devant diviser A et B , divise leur p. g. c. d. Dj d’ailleurs, il divise aussi C; ainsi il doit diviser D', qui est le p. g. c. d. de D et de C; il ne peut donc être d’un degré plus élevé que D'. Mais D' est évidemment commun aux trois polynômes A, B, C; donc enfin, D' est leur p. g. c. d.

On prouverait , d’une manière analogue, que le p. g. c. d. D"

THÉOIUB COMPLETE

entre D' et E;.est le p. g. c. d. entre A, B, G, E; et ainsi de suite.

N. B. Dans les applications, on commence par chercher le p. g. c. d. entre les deux polynômes de plus faible degré , puis entre eelui qu’on a ainsi obtenu et lè troisième polynôme le plus simple, etc.

248. En résumant les règles précédentes , on voit que , par une suite de divisions algébriques, on peut toujours obtenir le plus grand commun diviseur relatif entre deux ou plusieurs polynoihes en x , quelle que soit la nature des coeiliciens des diverses puissances de cette lettre principale.

On peut encore remarquer que , tontes les fois qu’on opère sur des polynômes rationnels , c’est-à-dire sür des polynômes qui ne renferment aucun signe d’extraction de racine , l’application du procédé conduit à des quotiens et des restes qui peuvent être entiers ou fractionnaires , mais qui sont essentiellement rationnels. Ainsi le plus grand commun diviseur relatif auquel on parvient par ce procédé, ne peut être quo rationnel .

Du plus grand comm un diviseur algébrique ordinaire.

249. Les polynômes que nous allons maintenant considérer seront dp la nature de ceux sur lesquels nous avons opéré dans le premier chapitre , et nous les appellerons des polynômes rationnels et entiers, parce que leur caractère consiste en ce que , composés d’un nombre limité de termes , comme les fonctions entières, ils ne renferment dans leur expression aucun des deux signes de la division ou de l’extraction des racines ; c’est-à-dire que les coefficiens numériques ou algébriques sont entiers , et qu’il n’entre dans ces polynômes que des exposans entiers et positifs pour toutes les lettres.

Un polynôme rationnel et entier est dit facteur ou diviseur d’un second polynôme de même nature , lorsqu’il existe un tràisième polynôme rationnel et entier qui , multiplié par le premier, peut reproduire le second ; et c’est par le procédé de la division algébrique ordinaire, qu’on reconnaît si le premier polynôme est facteur du second.