Secondement. Soient A et B deux polynômes rationnels et

(*) Voyez, pour la démonstration, la note qui est à la fin du VIII' chapitre.

THÉORIE COMPLÈTE

entiers , D leur plus grand commun diviseur, c’est-à-dire (n° 34) le -polynôme le plus grand par rapport aux exposons et aux coefficiens , qui divise exactement les deux polynômes donnés. Si l’on désigne par A' et B' les quotiens respectifs de leur division D, on a ( même numéro ) A = A'D , B = B'D, A' et B' étant premiers entre eux.

Cela posé , tout diviseur premier d, commun aux deux polynômes, ne pouvant diviser en même temps A' et B', doit, en vertu delà proposition fondamentale (n" 280), diviser D. Il est d’ailleurs évident que tout facteur premier p qui divise A sans diviser B, ou réciproquement, ne saurait diviser D.

Donc , le plus grand commun diviseur de deux polynômes rationnels et entiers contient , comme facteurs , tous les diviseurs particuliers communs aux deux polynômes , et ne peut renfermer d’autres facteurs.

C’est le premier principe du numéro 33 appliqué à deux polynômes rationnels et entiers.

232. Troisièmement. Soient A et B deux polynômes rationnels et entiers; d, d', d",.... des facteurs premiers (rationnels et entiers) communs aux deux polynômes ; n , p, q, . . . les exposans des puissances de ces facteurs , communes aux deux polynômes ; et supposons , pour fiîfcer les idées, que ces facteurs soient au nombre de quatre. On a les deux égalités

A =dn.d’P. d"i .d,"r» A", B — dn . d'p . d"n . d'"r . B",

A" et B" étant premiers entre eux , car s’il en était autrement, c’est que l’on n’aurait pas mis en évidence tous les facteurs premiers communs.

Cela posé, je dis que l’on a , en désignant par D le plus grand commun diviseur entre A et B,

D z=zd".d'P.d"<t.d'"r.

En effet, il est évident d’abord que ce produit dn .d'P .d”t .d'"r est diviseur commun des deux polynômes. De plus , c’est le plus grand qu’on puisse obtenir, puisque (n° 280) les autres facteurs ne peuvent être que les produits , 2 à 2 , 3 à 3 . . . des diverses puissances de d, d', d", d"', dont les exposans sont tout au plus égaux à n,p, q, r. (C’est la même proposition démontrée numéro 244 pour le plus grand commun diviseur relatif.)