DU PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR

Il résulte de là que deux polynômes rationnels et entiers ne peuvent avoir qu’un seul plus grand commun diviseur, c’est-à-dire un seul diviseur commun dans lequel les cocffioiens et les exposans soient les plus grands possibles ; tandis que deux fondions entières ont une infinité de plus grands communs diviseurs relatifs (n° 244).

253. Quatrièmement. On peut, sans aucun inconvénient, introduire ou supprimer , dans l’un des polynômes A ou B, tel facteur rationnel et entier que l’on juge h propos , pourvu que ce facteur ne se trouve pas déjà dans l'autre polynôme. Car il est évident que le plus grand commun diviseur entre les deux nouveaux polynômes reste le même qn’entre les polynômes proposés, puisqu’il doit se composer des mêmes facteurs.

254. Cisqgièmement. Passons à la démonstration du second principe établi numéro 33.

Observons d’abord qùe lés deux polynômes A et B peuvent toujours être supposés tels qu’aprè» les avoir ordonnés par rapport à une de leürs lettres communes, a, et avoir divisé le polynôme de plus haut degré , A par eiomple, par le second B, on ait obtenu un quotient entier et un reste de même nature , dans lequel le plus haut exposant de a soit moindre que celui du diviseur.

En effet, pour que , dans chacune des Opérations partielles, le quotient soit fractionnaire , il faut que le coefficient du premier terme de chaque dividende partiel ne soit pas exactement divisible par le coefficient du premier terme du diviseur; et alors le dénominateur du quotient partiel est ce dernier coefficient lui-même , ou l’un des facteurs de ce coefficient. Or il peut se présenter trvis cas : ou ce coefficient divise en même temps les coefficicns des autres puissances de a qui entrent dans le diviseur ; ou il a des facteurs commuas avec tous ces ooefficiens; ou bien il a avec quelques-uns seulement dés facteurs communs qui n’entrent pas dans les autres. (On dit , dans ce dernier cas, que tous les coefficicns sont premiers entre eux.)

Dans les deux premiers , B contiendrait comme facteur ce coefficient, ou l’un des facteurs do ce coefficient; et ce facteur ne se trouvant pas dans le dividende, il. ne saurait (u° 251) faire

THÉORIE COMPLÈTE

partie du plus grand commua diviseur entre A ot B. Ainsi (n° 233) on pourrait le supprimer d’avance dans et la question serait ramenée à rechercher le plus grand cOrumup diviseur entre A et le résultat B' provenant de la suppression de ce facteur.

Dans le troisième cas , on pourrait multiplier le dividende A par le multiple le plus simple des dénominateurs des quotiens fractionnaires obtenus, lequel multiple serait nécessairement premier avec B. Le produit de A par ce multiple ayant (n°253) avec B le même plus grand commun diviseur que celui qui existe entre A et B, on pourrait alors opérer sur ce produit A' et sur B, comme sur les deux polynômes primitifs \ et l’pn serait alors certain d'avoir des quotiénscntiérs.

Nous pouvons donc admettre a priori quo les polynômes A' et B satisfassent à la condition ci-dessus énoncée.

Cela posé , jp dis que le p. g. c. d. entre A et B est le même que le p. g. c. d. entre B et R, R désignant Je ye$te de leur division poussée jusqu’à ce que Je reste soit do degré ùioindre que B par rapport à Ja lettre principale a.

Eu effet , soient D le p. g. g. d. entre A et B , D' le p. «7. c. d. entre B et R ; on a l’égalité , : .' . •-

■»:* " • A = BxQ + R

d’abord

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