D~ D TD D' D' + D

Ces deux dernières égalités prouvent', 1° que D divisant A, B,

et par conséquent B x Q,' divise aussi R ; ainsi D , diviseur commun de R-, Bi , divise (n° 231) D' qui est le p. g. c. d. de B et dé, R. •• .V

2° Que D' divisant R, B, et par conséquent B x Q, divise aussi Al ainsi D';' diviseur commun do A , B , divise D qui est le p. g. c. d. entre A et B.

Puisque D et D', divisés réciproquement l’un par l’autre , doivent donner un quotient entier, ce quotient ne peut être que

l’unité : et l’on a

■ D — D'j . . . .c.qj’.d.

(Q et R étant des polynômes entier* ) ; d’où , divisant

par, Del ensuite par D', :

DD PLDS 6KA3D COBJIBN DITISU'B. 875

255. Il nous reste encore à faire une remarque propre à nous guider dans la question qui nous. occupe. •

Soit A un polynôme rationnel et entier que nous supposons ordonné par rapport à l’une des lettres , qui y entrent, a. par exemple.- ; , p' ■' • ••• ' Z". ‘

. Si cô polynôme n’est pas premier ( n° 249 )-, c est-à-diras’il est décomposai) le en facteurs rationnels et entiers , il. péut être regardé comme le produit de trois facteurs principaux , savoir,,:

* 1® D’un rrtonome A,, commun à tous lès termes dé A ( ce facteur se compose du plus grand commun diviseur tjuï existe entre tous les coefliciens numériques, multiplié par le produit des facteurs littéraux communs à tous les termes Jj

2° D'un polynôme Aa indépendant {le a, lequel doit ( n° 50) se trouver facteur commun à tous les .coefliciens des diverses puissances de a, dans les-polynomes ordonnés.

3° D’un polynôme Ai dépendant, de a/ çt dans lequel les coefliciens des diverses puissances de a sont premiers entre eux (u° -2o4), en éorté, que l’on a . ■ • v

■ - ■* . A =5=.Â, x. Av JC As. ü4".v*‘‘

Quelquefois , l’un des facteurs A, , À, , on tous les deux , se ré-

dnisent à l’unité; mais, du moins, telle. est la forme la plus générale d'un polyntune rationnel et entier ordonné par rapport à a., Il résulte derlà que , quand û existe un plus grand commun diviseur D entre deux polynômes rationnels et -entiers A et B, on a également ;

D 3= I),^i)a. Dj ; ) ■ ^

D, désignant le plus grand facteur monoine commun , D, le plus grand facteur polynôme indépendant d’une lettre commune®, et D3 le plus grand facteur polynôme dépendant de cette lettre. Voici d’ailleurs le moyen d’obtenir D, :

On cherche d’abord la facteur momome A, commihi a toits les termes do A. Ce facteur est en géhéral composé de facteurs littéraux qui se découvrent à la simple inspection dés fermes , puis d’un coefficient numérique que l’on obtient en appliquant aux divers coefliciens numériques de A le procédé établi cm Arithmétique (n° 156) pour trouver le p. g. c. d. entre plusieurs nombres à la fois.

THÉORIE COMPLÈTE

On cherche de mime le facteur mpnome B, commun a loue le» termes de B ; puis on détermine le plut grand facteur D, commun fl A i et a Bp

Ce facteur D, est mis à part, comme formant la première partie du commun diviseur cherché. On supprime d’ailleurs les facteurs A, et B, dans les deux polynômes proposés} et la question est ramenée à chercher le p. g. c, d. entre deux nouveaux polynômes À' et B' débarrassés de tout facteur monome. C’est donc à deux polynômes de cette espèce qu’il convient d’appliquer le procédé dont nous allons donner le développement.

Procédé du plus grand cotnmun diviseur.

256. Il peut se présenter plusieurs circonstances, eu égard au nombre des lettres que A' ét B' renferment.

1° A' RT B' HE REHÏKRiSANT Qu'llHE SEULE LETTRE Œ.

Si l’on ordonne A' et B' par rapport à a, les coefiioiens seront nécessairement premiers entre eux, puisqu’ils- sont numériques et qu’on a déjà retiré les facteurs mono mes. Ainsi , dans ce cas, il n’y a lieu à rechercher que le plus grand facteur commun dépendant de a, savoir, D3 (n° 255).

Pour l’obtenir, on commence (n° 254) par préparer le polynôme çle plus haut degré, de. manière que son premier terme soit exactement divisible paT le premier terme du diviseur. Cette préparation consiste à multiplier tout le dividende par le coefficient du premier terme du diviseur, ou par un facteur de ce coefficient , ou (n° 36) par une certaine puissance de ce coefficient , afin de pouvoir exécuter plusieurs opérations de suite sans de nouvelles préparations.

On effectue alors la division , et l’on pousse l’opération jusqu’à ce qu’on obtienne un reste de plus faible degré que le polynôme qui a servi de diviseur.

On cherche si, entre les coefficient de ce reste ( qui ne peuvent être que des nombres), il n’existerait pas un facteur commun quon aurait soin.de supprimer, comme ne pouvant faire partie du p. g. c. d. cherché ; après quoi , l’on opère sur le second polynôme et sur le reste , comme on a opéré sur les deux polynômes A' et B'.