DD PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR

On continue cette série dî opérations jusqu’à ce que l’on soit parvenu à un reste diviseur exact du reste précédent, auquel cas ce reste diviseur est le p. g. c. d. qui existe entre A' et B'; et D, x D3 exprime alors le p. g. c. d.- entre A et B ; ou lien, jusqu’à ce qu’on trouve Un reste indépendant de a, c’est-à-dire numérique ; et c’est un signe certain que les deux polynômes k' et B' sont premiers entre eux.

2° A' ET B' RENFERMANT DEUX LETTRES a et b.

Après avoir ordonné ces polynômes par rapport à a, il faut d’abord procéder à la recherche du facteur polynôme D, Bidépendanl de a ( n° 255). ,• ; :

Pour cela, on détermine d’abord le plus grand commun diviseur A, entre tous les coefficiens des diverses puissances de a dans le polynôme A'. Ce commun diviseur s’obtient en appliquant le procédé (n* 247) relatif à la recherche du p. g. c. d. entre plusieurs polynômes à la fois , ainsi que la règle qui a été établie dans le cas précédent, puisque ces coefficiens ne renferment que la seule lettre b. On détermine de même le plus grand commun diviseur B, entre tous les coefficiens de B'. Comparant ensuite A, et B, , on met à part leur plus grand commun diviseur X)-,, comme faisant partie du p. g. c. d. cherché; et P on supprime d'ailleurs les facteurs A, et B, dans A' et B'; cp qui donne lieu à deux nouveaux polynômes A" et B" dont les coeffioiéns sont . premiers entre eux , et auxquels on peut par conséquent appliquer ce qui a été dit dans le premier cas.

Toutefois, il faut avoir soin, pour chaque reste, de s’assurer si les coefficiens des diverses puissances de la lettre a ne renferment pus un facteur commun, qu’on supprimerait alors comme étant étranger au commun diviseur. Nous avons déjà fait voir (n° 38) que ces suppressions sont absolument indispensables.

On obtient ainsi pour A" et B" le commun diviseur D3 ; et pour les deux polynômes A et B , le p. g. c. d. est D, xD,xDj.

N. B. En appliquant à A" et B" le procédé indiqué dans le premier cas , on reconnait encore que ces deux polynômes sont premiers entre eux à ce signe, qu’on obtienj un reste , soit numérique, soit fonction de b, mais indépendant do a. Alors A et B n’ont pour p. g. c. d. que D, xD„

3" A' ET B' RENFERMANT TROIS LETTRES a, b, C.

THÉORIE COMPLÈTE

Les deux polynômes étant ordonnés par rapport à a, on déterm inc d’abord le p. g. c. d. indépendant de a , ce qui se fait en appliquant aux coefficiens des diverses puissances de ®, dans les deux polynômes, le pf-océdé du n" 247 et la règle du second cas, puisque ces coefliciens polyuoraes ne renferment que les deux lettres b., c. -

Le polynôme indépendant D % étant ainsi mis en évidence , et les fadeurs A, et B, qui l’ont donné , étant supprimés dans A' et B', il en résulte depx polynômes A" et B" dont les coefficiens sont premiers entre eux, et auxquels on pout par conséquent appliquer ce qui a été dit dans les deux cas précédons.

Et ainsi déduite,. \ - •

• Nous engageons les jeunes gons à se pénétrer du procédé que nous venons d otablir, et à tâcher d’en bien saisir l’esprit.

Nous allons en faire l’application à quelques exemples:-