Soint les deux polynômes

o’d’ — : c’tf0 — aV‘ + et 4 o’d — Soc* + 2c3 — 4 acd.

Le second polynôme est le sent qui renferme un facteur monome : ce frteteur est 2. En- le supprimant et ordonnant par rapport à d , on obtient les deux nouvelles expressions

(a-> — c A g* — flv' + <A et (2 a’ — 2 ac) d — ad + c3.

Il faut d’abord procéder à la recherche du commun diviseur indépendant de la lettre d.

Or, si l’on considère les coefficiens a’ — c1 et — a’e2 + c', du premier polynôme , on observe que — de’ + c'+ peut se mettre sous la forme — c ’ (a* — C?}; d’où l’on voit que a3 — c’ est facteur commun entre les deux coefficiens du premier polynôme. De même, les coefficiens du' Second, 2a1 — Une et — ad + c3, reviennent à 2a (a — c) et — <?’■ (a — c) ; donc a — c est facteur commun entre ces coefficiens.

Comparons maintenant les deux facteurs a2- — d et a — c. ■ Comme ce dernier divise l’autre, il s’ensuit que a — c est un facteur commun aux, deux polynômes proposés; et c’est le plus grand diviseur indépendant de d.

Supprimons d’ailleurs a 2 — c2 dans le premier polynôme , et a — c dans le second; on obtient pour les résultats de cette

DC PLUS QlUtlD C05M.DK DIVISEUR.

suppression d3 — a3 et 2 ad — e3, polynômes auxquels il ..fout appliquer le procédé ordinaire.

2 ad — c3

2 ad + c3

+ 2 ac‘d — 4a3e3

Explication. Après avoir multiplié le dividende par 4a3; et effectué deux divisions consécutives , on obtient pour reste — 4a3e3 ■+■ c4, polynôme indépendant de la lettre principale d; donc, les deux polytoomcs d3 — e3 et 2 ad — c3 sopt premiers entre eux. Ainsi , le plus grand commun diviseur des polynômes proposés est a — c.

Reprenons le même exemple en ordonnant par rapport à a ; il vient, après la suppression du facteur 2 dans le second polynôme ,

(d3 — c3) a3 — c’d3 + et 2da* — (2ed + c3) a H- c3.

■ • . r ' v • ■ ■ »* •, ,*. t y < ? % pî * .. . < "•. ■ >

En jetant les yeux sur le second polynôme, on reconnaît facilement que les coefficiens des diverses puissances de' a sont premiers entre eux. Quant au premier polynôme , ou observe que le coefficient , — cJd3 +<?•’•, du second* terme on de a®, revient à — c3 (d3 — a3); d’où il suit qued3 — c3 est facteur commun aux deux coefficiens; et comme ce facteur n’entre pas dans le second polynôme, on peut le supprimer dans le premier sans en tenir aucun compte , comme ne faisant pas partie du, commun diviseur. t , •

Opérant cette suppression , et prenant le second polynomo pour dividende, le premier pour diviseur (afin d’éviter la préparation), on a

reste .

— lcd

— 2 cd

a •+■ 2 de3

ou bien, . . a — c ,

( en supprimant le facteur commun — » 2 cd — c3 ) ; 2» a3 — c3 ) a — c

+ ac — c3 J a + c

if-K*

THÉORIE COMPLÈTE

Explication. Après avoir effectué là première division , l’on obtient un reste qui renferme le facteur — lcd — c2, dans ses deux coefficiens ; car 2dc* +c3= — c { — 2 cd — c2). Ce facteur étant supprimé , le reste se réduit à a — ■ c , polynôme qui divise exactement a1 — c ’.

Donc a — C est le plus grand commun diviseur cherché. Les commençons feront bien de reprendre le même exemple en ordonnant par rapport à c. .

288. Il existe un cas assez remarquable, dans lequel on peut obtenir le plus grand commun diviseur plus aisément que par le procédé général ; c’est celui où l 'un des deux polynômes renferme une lettre qui ne se trouve pas dans l’autre .

Dans ce cas , comme il est évident que le plus grand commun diviseur doit être indépendant de cette lettre, ri s’ensuit que, si l’on ordonne le polynôme qui la renferme , par rapport à cette lettre , le plus grand commun diviseur cherché sera le même que celui qui existe entre les èoej/îciens des diverses puissances de la lettre ordonnatrice et h second polynôme, qui, par hypothèse , en est indépendant.

A la vérité , on sera conduit , par ce moyen , à déterminer le plus grand commun diviseur entre trois ou un plus grand nombre de polynômes; mais ceux-ci seront beaucoup plus . simples que les polynoipes proposés. Souvent même il arrive que quelques-uns des coeffiçions du polyhome ordonné sont des monômes; ôu bien, on reconnaît â leur seule inspection qu’ils sont premiers entre eux ; et , dans ce cas , on est certain que les polynômes proposés sont' aussi. premiers entre eux. •

Ainsi, dans l’exemple du n° 287, traité par le premier moyen, après avoir supprimé le facteur a — c commun aux deux polynômes, ce qui a donné pour résultats,

d2 — c 2 et 2 ad — c2,

on reconnaît. immédiatement que ces deux nouveaux polynômes sont premiers entre eux ; car le second renfermant la lettre a qui n’entre pas dans le premier, il résulte de ce qui vient d’être dit, que le plus grand commun diviseur doit se trouver entre les coefficiens 2d et — c2 ; or ces deux quantités sout évidemment premières entre elles ; donc , etc.

DO PICS GIARD COMMIS DlYISEl'B. 381

Soient , comme application du cas que nous examinons , les deux polynômes

3 beq + 30 mp -f- 18ic + ’&mpq, et . hadq — 4 %fg + 24ad — Tfgg-

Comme q est la seule lettre commune à ces deux polynômes (qui d’ailleurs ne renferment pas de facteurs monomes), on pourrait les ordonner par rapport à cette lettre , et suivre le procédé ordinaire. Mais observons que b se trouve dans le premier polynôme et non dans le second ; donc si l’on ordonne le premier par rapport à b, ce qui donne

(3 cq + 18c) 6 •+• 30 mp + S mpq ,

on peut assurer que le p. g. c. d. cherché est le même que celui qui existe entre le second polynôme et les deux coefficiens

3 cq + 18c, 30 mp + 8 mpq.

Or le premier de ces deux coefficiens peut se mettre sous la forme 3 c(q + 6) , et l’autre revient à 5 mp(q + 6) ; d’ou il suit que q + 6 est le seul facteur commun à ces deux coefficiens. Il suffit alors de voir si q + 6 , qui est un diviseur premier, est facteur du second polynôme.

Or ce polynôme, ordonné par rapport à q, revient à

(4 ad— 7 ’fg) q — 4 %fg + 24 ad;

et comme la seconde partie 24ad — 42 fg est égale à 6 (4 ad — Ifg) , il s’ensuit que ce polynôme est divisible par j+6, et donne pour quotient 4 ad — 7 fg. Donc enfin , q + 6 est le plus grand commun diviseur des deux polynômes proposés.

289. Nous terminerons cette théorie par un rapprochement entre le procédé du plus grand commun diviseur relatif et celui du plus grand commun diviseur ordinaire, en traitant successivement par les deux procédés, un exemple dans lequel les deux polynômes sont, non seulement entiers par rapport à x, mais encore par rapport aux autres nombres qui y entrent; parçe que, dans la suite, nous aurons à opérer sur beaucoup d’exemples de ce genre. ,

382 REHARQEE SUR IB PI.t'8 GRAND COSSU! N DITISECR

Séîcnt proposés les deux polynômes

6jt5 — 4x4 — llx3 — 3xJ — Sx — 1 , ot 4x4 + 2x3 — 18x3 + Sx — 5.

Tableau des calculs par le procédé du p. g. c. d. relatif.

|o 0^5 — — Hj>3 — 8x? — Sx — 1 } 4x4+2x3 — 18xa + 3x — 8 . . .. . 15 9 . > S 7

2° -4x4 + 2x3 — 18x’ + Sx — 5 | -g- x3 — 39x’ + x j-

+ 10x3 — 20x3 + Sx — 8 j +

Donc — x3 — 39x’ + -j x — — est le p. g. c. d.

Tableau des opérations par la méthode ordinaire.

1° Multiplication par 16. \

Reste +31 2x3 - 624xa + 1 56x- 1 36 ,

ou bien 2x3 — 4x’ + x — 1 .

2° 4x4 + 2x3 — 18x’.+ Sx — 8 ) 2x3 — 4x> + x — 1

Donc 2x3 — 4x’ x — l est le p. g. c. d.

En appliquant le procédé du n° 246 sans faire subir aucune préparation, on parvient, comme on le voit dans le premier des deux tableaux de calcul , au résultat

KNTRK DKl-X FOKCTIOKS ÇXTlfcRIS. 383

tandis que si l’on suit le procédé du n° 256, avec toutes ses modifications,-on obtient

2x3 — .ix’+x — 1

pour le plus grand commun diviseur des deux polynômes.

Or ce dernier résultat ne diffère du précédent que par le fac- 39 '

teur — , qui est commun à tous les termes de celui-ci , et que l’on peut mettre en évidence.

D’où l’on voit que l’effet produit par l’application du procédé sans préparation , est de donner le commun diviseur ordinaire qui existe entre les deux polynômes ( qu’on suppose rationnels et entiers), de le donner, dis-je, embarrassé de facteurs étrangers, mais indèpenduns de la lettre principale.

Or, comme nous verrons par la suite que le principal objet qu’on se propose, lorsqu’on est parvenu au plus grand commun diviseur de deux fonctions entières, est de l’égaler à 0 pour en tirer des valeurs de la lettre principale , on conçoit que l’introduction de ces facteurs étrangers dans le résultat, ne peut, en aucune manière, influer sur les racines de l’équation obtenue, puisque ces factenrs, étant indépendans de la lettre principale, peuvent toujours être supprimés dans cette équation.

Ainsi, dans ce cas, il est tout-à-fait indifférent d’employer ou de ne pas employer les modifications; et lorsqu’on les emploie, c’est seulement dans la vue de simplifier les calculs.

Nous proposerons encore 1 d’appliquer les deux procédés aux exemples suivons :

1 x6 + Ax5 — 3x4 — 16x3+ 1 lx’+ 12x — 9,

1 6x5+20.r4— 12x3 — 48x’ + 22x +12; p. g. C. A. simplifiée x3 + x’ — 5x + 3.

p. g. c. d. simplifiées 5xJ — 3x + 4.

as*