AUQUEL CAS, LA DIVISION EST DITE EXACTE

Lorsque le premier terme du dividende ordonné n’est pas exactement divisible (n° 23) par le premier terme du diviseur aussi ordonne, c’est un signe que la division totale est impossible, c’est-à-dire qu’il n’y a pas de polynôme entier qui, multiplié par le diviseur, puisse reproduire le dividende. Et, en général, on reconnaît qu 'une division est impossible , lorsque le premier terme de U un des dividendes partiels n’est pas divisible par le premier terme du. diviseur.

27. Nous remarquerons, en passant, -que, s’il y a quelque analogie entre la division arithmétique et la division algébrique , par rapport à la manière dont les calculs sont disposés et effectués, elles ont entre elles cette différence essentielle, que, dans la division arithmétique, les chiffres du quotient s’obtiennent par tâtonnement, tandis que,- dans la division algébrique, le quotient que l’on obtient en divisant le premier terme d’un dividende partiel par le premier terme du diviseur, est toujours un des termes du quotient' cherché. Si cette division partielle ne peut s’effectuer, on doit conclure tout de suite que la division totale est impossible. Sous ce rapport, la division algébrique est plus 'simple que la division arithmétique..

En outre, rien n’enapêcherait de commencer l’opération par la droite, au lieu de la commencer par la gauche, puisque alors ce serait opérer sur les termes affectés des plus Faibles exposans de la lettre par rapport à laquelle on a ordonné. Dans la division arithmétique , on ne peut trouver le quotient qu’en commençant par la gauche.

Division

Enfin , telle est l’indépendance des opérations partielles que comporte le procédé, qu’après avoir soustrait du dividende total le produit du diviseur par le premier terme trouvé au quotient , soustraction indispensable, on peut, à la seconde opération , diviser l’un par l’autre les deux termes du nouveau dividende et du diviseur, affectés du plus haut exposant d’une lettre différente de celle que l’on avait considérée d’abord , et l’on obtiendra encore un des termes du quotient, qui restent à déterminer. Si l’on conserve la même lettre, c’est parce qu’il n’y a pas de raison pour en changer , et que les deux polynômes étant déjà ordonnés paê rapport ù la première lettré , les premiers termes à gauche dans le dividepde et le diviseur sont propres à donner un terme du quotient, tandis que 4 si l’on changeait de lettre, il faudrait chercher de nouveau les termes affectés du plus, haut exposant de cette lettre. y •

Second exemple.

j 28. Diviser 21 x3ya + 25.r:,y3 + 68 xyb — 40 yr' — 56x5 — lffirty par, îîy’ — Sx’ — 6 <xy.

Voici le tableau des calculs, en ordonnant par rapport à y :

— 40ÿî-l-68.îy'i -f-SSx’y3 -f-21.r3y’ — 18 — S6xs \ Sy’ — 6 ±y — 8-r’

-f-40 yr‘ — 48iyl — 04.r’4-y3. j t— 8y34-4xya — 3x3y4-7.r3

1er reste . .20xyt — 39x3y3-f-21.r3y3 — 18 xby — B0xs —20 xyl 4J24x,y3 4- 32.r:,y3

■ 2° reste, i.. — rlS-r’y34-S3x3y3 — :18xiy — BOx*