LOI DE FORMATION

Si l’on fait attention à la manière dont sc composent les coefficicns des diverses puissances de u, on verra <jue le coefficient de u° n’est autre chose que le premier membre de la proposée , dans lequel on a remplacé x par x' ; nous désignerons dorénavant ce coefficient par X'.

Que le coefficient de u* se formé au moyen du précèdent ou de X', en multipliant chacun des termes de X' par l'exposant de x dans ce terme, et diminuant cet exposant d’une unité : nous appellerons Y' ce coefficient.

Que le coefficient de u1 se forme au moyen de Y', en multipliant chacun des termes de X' par l’exposant de x dans ce terme, divisant le produit par 2, et diminuant ensuite l’exposant de x' d’une Unité.

Si l’on appelle ^ ce coefficient, il est clair que Z' se forme au

moyen de Y', comme Y' se forme au moyen de X'.

En général, un coefficient de rang quelconque, dans la transformée ci-dessus , se forme au moyen du précèdent , en multipliant chacun des termes de celui-ci par l’exposant de x' dans ce terme, divisant le produit par le nombre des coefficiens qui précèdent celui que l’on considère, et diminuant ensuite l’exposant de x' d’une unité. J,

Cette loi, d’après laquelle les coefficiens X', Y', — , . . .

dérivent les uns des autres , est évidemment une conséquence immédiate de celle qui régit les différens termes de la formule du binôme (voyez n° 149).

Les expressions Y", U, V', W' . . . . sont appelées les polynômes dérivés de X', parce que T! se déduit ou dérive de Y', comme Y' dérive de X' ; V' dérive de, Z', comme Z' dérive de Y' ; et ainsi de suite. Y' est dit le premier polynôme dérivé, U le second. . . .; rappelons-nous, d’ailleurs , que X' n’est autre chose que le premier membre de la proposée, dans lequel on a remplacé x par x'.

N. B. On a supposé le coefficient du premier terme de la proposée égal a 1 ; s’il était quelconque, la loi de formation des coefficiens de la transformée serait absolument la môme ; et le coefficient de u"‘ serait égal à celui de xm.

265. Pour faire connaître l’usage do cette loi dans la pratique ,

DES POLYSOMES UÉU1YE8. 360

proposons-nous de faire évanouir le coefficient du second terme de l’équation x4 — 12.r3 + 17.r’ — 0r + 7 = O.

Il faut, d’après la règle n° 260, poser ar= « + -^ , ou .r =3 + u, ce qui donnera une transformée du 4° degré et de la (orme

X' + Y'w + +^tt3 + u4 = 0;

et tout se réduit à calculer X', Y',

Or on a , en vertu de la loi précédente,

X' = (3)4 — 12.(3)3 + 17.(3j’ — 0.(3)> + 7, ou X'= — 110; Y' =4.(3)3 — 80.(3)’ + 34.(3)* — 0, ou Y'=— 123;

Ainsi, la transformée devient «4 — 37m’ — 123u — 110=0. Soit encore proposé de transformer l’équation 4x3 — 5.r’ + 7.r — 9=0,

en une autre dont les racines surpassent de Yunfté chacune des racines de la proposée.

Posons la relation « = *+ 1 ; il en résulte x = u — 1 , ce qui

doune la transformée X' + Y'u+ -^k’ + 4m3 = 0.

, Jé

X' = 4.( — l)3 — 5.( — 1)’ + 7.( — l)1 — 9,oubicnX'= — 25;

Zl-

Ainsi la transformée devient 4 u1 — 17u’ + 29m — 25 = 0. On peut s exercer sur les exemples suivans :