PROPRIÉTÉS DES POLYSOMES DÉRIVÉS

Faire évanouir le second terme dans les équations

( Résultat . us — 33a3 + 118u’ — 152 u — 73=0.)

( Résultat. 3a3 g- =0.) \ F oy. n" 261 .]

Transformer l'équation 3x'* — 13x3+7x’ — 8x — 9 = 0, eis une autre dont les racines soient plus petites que chacune des

racines de la proposée , de la fraction s?

( Résultat. 3«4 — 9a3 — 4a5 ~u =s 0.)

Nous aurons souvent occasion de rappeler la loi de formation des polynômes dérivés.

264. Ces polynômes jouissent d’une propriété très remarquable que nous pouvons faire connaître dès à présent.

Soient X ou xm + Pxn,-* + Qx'"— >+ . . . .= 0 , une équation proposée, et a, 6; c, . . . I, les m racines de cette équation; on a ( n” 254 } l’équation identique

xr,ï + P xm 1 + . . . .=( x — a) (x — b) (x — e) . . . .(x — l).

Cela posé, remplaçons x par x'-fa. ou plutôt par x+a ( pour \ éviter les accens ) ; il vient

(l + aJ^ + P (x + «)m — 1 + . . . . =:(x + k — a) (x + a — 4).... , ou bien , changeant dans le second membre l’ordre des termes , et regardant chacun des binômes x — a,x — b,. ... comme une seule quantité,

Or, si l’on effectue les multiplications dans chacun des deux membres, on obtiendra d’abord pour le premier, en vertu de ce qui a été dit dans le numéro précédent ,

X+Ya+^u’ + + am;

X étant le premier membre de la proposée, et Y, Z, • • • - les polynômes dérivés de ce premier membre.