PROPRIÉTÉS DES POLYSORES DÉRIVÉS

Quant au second, il résulte du n° 242, 1° que la partie affectée de u" , ou le dernier terme, est égal au produit (x — a) ( x — i), . . .( x — /) des facteurs de la proposée;

2° Que le coefficient de u1 est égal à la somme des produits m — 1 à m — 1 de ces m facteurs;

3° Que le coefficient de w est égal à la somme des produits m — 2 à m — 2 de ces m facteurs ; et ainsi de suite.

D’ailleurs, il y a identité entre les deux membres de la dernère équation; ce qui veut dire ( n° 180 ) que les coefficiens des mêmes puissances sont égaux dans ces deux membres.

Ainsi, 1" l’on a X = (x — a) (j — l) (x — c).. .{x — /); ce ■pie l’on sait déjà.

2° Y ou le premier polynôme dérivé est égal à la tomme de* produits m — 1 àm — 1 de* m facteurs du premier degré de la proposée ; ou bien encore, égal à la tomme des quotiens que l’on obtient en divisant X par chacun des in facteurs du premier degré de la proposée ; c’est-à-dire, algébriquement,

3° ^ ou Ie second polynôme dérivé ( pris avec le diviseur 2 )

est égal à la somme des produits m — 2 à ni — 2 des m facteurs de la proposée ; ou bien encore , égal h la somme des quotiens que l’on obtient en divisant X par chacun des facteurs du second deyré; c’est-à-dire

2 (x — a)(x — b) (x — at)(x — e)"^" ( x — k)(x — l)’*

et ainsi de suite. -

2615. S fci:u mie tr as sfo B ratios. Faire disparaître les dénominateurs d’une équation ,■

Une équation étant donnée, on peut toujours la transformer en une autre dont les racines soient égales à un multiple ou à un sous-multiple donné de celles de la proposée.

Reprenons l’équation *'" + Px™— 1 q-Qx™— ^ »+ ... +T.r+U=0, et désignons par y l’inconnue d’une nouvelle équation dont les racines soient k fois plus grandes que celles de la proposée. Si

DISPARITION DES DÉNOSHNATEIRS.

l’on pose yz=hx, il en résulte x =jf ; d'où, substituant et

chassant le dénominateur km du premier terme ,

y™ + PAy™->+Q£’î^-* + RA3y’"-3+ . . . + TAm— ‘y + UA™ = 0 ,

équation dont les coefficiens sont égaux à ceux de la proposée multipliés respectivement par A°, A1, A % A3. •• .A"'.

Cette transformation est principalement utile pour faire disparaître les dénominateurs d’une équation sans donner au premier terme d’autre coefficient que l’unité.

Soit, pour fixer les idées, l’équation du 4' degré,

si l’on fait dans cette équation, x = ^ , y étant une nouvelle

inconnue et A une indéterminée, il vient

, . ak , ek* ekl qM .

y4+T^+ Tï’+7i'+T = 0-

Cela posé , il peut arriver deux cas :

Ou les dénominateurs b, d,f, h, sont premiers entre eux; dans cette hypothèse , comme h est tout-à-fait arbitraire , posons ftzzxàdfh , produit de ces dénominateurs ; il vient

yti + adfh.y^-Ycb'df'h'.y* ePdfrfi* .y ,

équation dont les coefficiens sont entiers et dont le premier terme a pour coefficient l’unité.

On a , d’ailleurs , pour déterminer les valeurs de x qui cor-

respondent aux valeurs de y, la relation x=

bdfh'

Ou bien, les dénominateurs renferment des facteurs communs; et l’on rendra évidemment les coefficiens entiers en prenant pour k le plus petit multiple de tous les dénominateurs. Mais on peut encore simplifier davantage en observant que tout se réduit à déterminer k de manière que k1, A’, A3, . . . contiennent les facteurs premiers qui composent b, d,f, h, à des puissances au moins égales à celles qui entrent dans ces différons dénominateurs.

MÉTHODE GÉNÉRALE DES TRAHSFOR9ATIOSS.

Ainsi , soit l’cquation xi — - x3 + ■— x* ■

Posons x = l i ü vient yi — ^ y3 + ~ y»

ISO'1’ 9000 ‘

soit fait d’abord A égal à 9000 qui est multiple de tous les autres dénominateurs ; il est clair que les coelTiciens deviendront des nombres entiers.

Mais si l’on décompose 0, 12, ISO et 9000, en leurs facteurs , on trouve

et en faisant simplement *=2x3x5, produit des facteurs simples différens, on obtient

d’où l’on voit que les valeurs de *, A3, A3, *i, contiennent les facteurs premiers 2, 3, 5, à des puissances au moins égales à celles qui entrent dans 6, 12, 150, et 9000.

Donc, l’hypothèse * = 2x3x5 = 30, suffît pour opérer la disparition des dénominateurs. Il vient en effet, par la substitution ,

ou, réduisant, y4— 5.8.y3-f-5.3.8’.y’— 7.2’.3’.8.y— 13.2.3’.5=0, ou bien enfin, y4 — 25y3 + 875 y’ — 1260y — 1 170 = 0.

11 y a des circonstances où l’on est obligé, dans l’expression de A, d augmenter l’exposant de l’un des facteurs premiers, <1 une ou de plusieurs unités. Mais on doit sentir la nécessité de ne prendre pour A que le plus petit nombre possible; autrement, on obtiendrait une transformée dont les coefficiens seraient extrêmement grands, comme on en peut juger en calculant la transformée résultant de la supposition de * = 9000 dans l’équation précédente.

Voici de nouvelles applications :

■=!» d’où y3— 14y’+lly— 75 = 0.

204 DE L’tLUHKATIOll.

d’oy y5 — 6Sy/> + 1 890y3 — 80720y ’ — 928800y + 972000 = Ov

266. Les transformations précédentes sont celles dont l’tisage est le plus fréquent; il en est encore d’autres assez usitées, dont nous ne parlerons que lorsque l’occasion s’en présentera , parce qu’elles sont trop simples pour être traitées séparément.

En général , le problème des transformations doit être regardé comme une application dù problème de {'élimination entre deux équations d’un degré quelconque à deux inconnues. En effet, une équation étant donnée, supposons qu’on veuille la transformer en une autre dont les racines aient avec celles de la proposée une relation déterminée.

Désignons par F (:r) = 0 l’équation proposée ( elle s’énonce fonction de x égale 0 ) , et par F' (x, y ) = 0 l’expression algébrique de la relation qui doit exister entre la première inconnue x et la nouvelle y ; la question se réduit à tâcher d’obtenir, au moyen de ces deux équations, une nouvelle équation en y , qui sera alors l’équation demandée. Lorsque l’inconnue x n’entre qu’au premier degré dans F' (x, y) = 0, la transformée est facile à obtenir; mais si elle y est élevée à la seconde, troisième. . . . puissance, il faut avoir recours aux méthodes d’élimination. ,

Donnons une première idée de cette théorie qui joue un si grand rôle dans l’analyse algébrique.

élimination. Première partie.

267. Éliminer, entre deux équation» d’un degré quelconque à deux inconnues , c’est parvenir, après une suite| d’opérations exécutées sur ces équations , à une seule équation qui ne renferme que l’une des inconnues , et qui donne toutes les valeurs de cette inconnue, propres à vérifier les deux équations en même temps que des valeurs correspondantes de l’autre inconnue.

L’équation, fonction de l’une des inconnues , à laquelle on par-

j4 j xs -