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ns L'ÉLIMINATION. «95

■vient , se nomme équation finale ; et les valeurs de l’inconnue , tirées de cette équation , sont appelées valeur s convenables.

De toutes les méthodes d'élimination connues , la méthode par le plut grand commun diviteur est, en général, la plus expéditive; aussi c’est celle que nous allons développer ici.

Soient deux équations d’un degré quelconque à deux inconnues ' f

ou, plus simplement encore,

Supposons Yéquation finale en y obtenue, et tâchons de reconnaître quelque propriété des racines de cette équation, qui puisse nous servir à former cette équation.

Soit y = S l’une des valeurs convenables de y. Puisque cette valeur vérifie les deux équations conjointement avec une certaine valeur de x , elle doit être telle que, si on la substitue à la fois dans les deux équations, qui ne renfermeront plus alors l’inconnue y, ces équations admettent au moins une valeur commune pour x; et à cette valeur commune doit nécessairement ( n° 237 ) correspondre un commun diviseur en x. Ce commun diviseur sera du premier degré en x ou d’un degré supérieur, suivant qu’à la valeur particulière y = C, il correspondra une ou plusieurs valeurs de x.

Réciproquement, toute valeur de y, qui, substituée dans les deux équations, leur donne un commun diviseur en x, est nécessairement une valeur convenable ; car alors elle vérifie évidemment les deux équations en même temps que la valeur ou les valeurs de x tirées de ce commun diviseur égalé à 0.

268. Remarquons d’ailleurs qu'avant aucune substitution , les premiers membres des équations ne peuvent , en général, avoir de commun diviseur, fonction des deux inconnues ou de l’une d’elles seulement. , * .

Supposons en effet, pour un instant, que les équations A = 0, B = 0, soient de la forme

D étant fonction de x et de y. i •.

DB l’ÉUSISATIOS.

En posant séparément D=0, on obtient une seule équation» à deux inconnues, qui peut être satisfaite par une infinité de systèmes de valeur ». D’ailleurs, tout système qui anéantit D rend également nul s A'D , B'D., et satisfait par conséquent aux équations A =0, B = 0.

Ainsi l’hypothèse de l’existence d’un commun diviseur en x et y entre les deux polynômes A et B entraîne la conséquence que les équations proposées sont indéterminées , c’est-à-dire susceptibles d’être satisfaites par une infinité de systèmes de valeurs de x et de y. Dès-lors , il n’y a pas lieu à déterminer une équation finale en y, puisque lé nombre des valeurs de y est infini.

Si D était fonction de x seulement , on concevrait l’équation D = 0 résolue par rapport à x; ce qui donnerait une ou plusieurs valeurs pour cette inconnue. Chacune do ces valeurs, substituée dans A'xD = 0 et B'xD = 0, en même temps qu’une valeur de y, tout-à-fait arbitraire , vérifierait ces deux équations, puisque D devient nul par l’effet seul de la substitution de la valeur de x. Ainsi, dans ce cas, les deux équations proposées admettraient bien un nombre fini de valeurs pour X, mais une infinité de valeurs pour y; et il ne pourrait alors exister d’équation finale en y.

Donc, toutes les fois que deux équations A = 0, B = 0, seront déterminées, c’est-à-dire toutes les fois qu’elles n’admettront qu’un nombre limité de systèmes de valeurs pour x et y, leurs premiers membres ne pourront avoir de commun diviseur fonction des inconnues, avant aucune substitution particulière faite pour l’une d’elles.

N. B. Le cas où A et B auraient un diviseur commun en y, ne fait pas exception à la conséquence précédente; puisqu’alors il y aurait une infinité de valeurs de x qui correspondraient à chacune des valeursdc y tirées de ce commun diviseur égale à 0.

269. De là il est aisé de conclure un procédé pour obtenir Y équation finale en y.

Puisque la propriété caractéristique de toute valeur convenable de y, est que, substituée dans les premiers membres des deux équations, elle leur donne un commun diviseur en x qu’ils n’avaient pas auparavant ( à moins que les équations ne soient

B* t’fUÏISATIOX. • 397

indéterminées, co qu’on ne suppose pas), -il s’ensuit qu'c si, aux •deux polynômes proposés et ordonnés par rapport à x, on applique le procédé pour trouver le plus grand commun diviseur, on n’en trouvera généralement pas; mais , en continuant l’opération convenablement, on parviendra à un reste indépendant de x et fonction de y, qui , égalé à 0, donnera l’équation finale demandée ; car toute valèur de y, tirée de cette équation , rend nul le dernier reste de l’opération du commun diviseur; elle est donc telle,que, substituée dans le reste précédent, elle rend ce reste diviseur commun des premiers membres A et B. Ainsi chacune des racines de l’équation ainsi formée est une valeur convenable dey. . ,

270. En admettant que l’équation finale fût complètement résolue, ce qui donnerait toutes les valeurs convenables, il faudrait ensuite obtenir les valeurs correspondantes de .r. Or, il est évident qu’il suffirait, pour cela, de substituer les différentes valeurs de y dans V avant-dernier reste , d’égaler successivement à 0 les polynômes en x qui en résulteraient , et d'en tirer les valeurs de x; car ces polynômes ne sont autre chose que les diviseurs en x qui deviennent communs à A et B.

Mais comme l’équation finale est, en général, d’un degré supérieur au second , nous sommes forcé de renvoyer à un autre chapitre la seconde partie de la théorie de l’élimination, laquelle partie a pour objet de déterminer tous les systèmes de valeurs propres à vérifier deux équations d’un degré quelconque à deux inconnues.

Nous nous proposons également de revenir sur la méthode qui vient d’ètré exposée , parce qu’elle a quelques inconvéniens auxquels il faut obvier. Mais notre but était principalement ici de faire voir comment deux équations d’un degré quelconque étant données, on peut, sans supposer larésolulion d’aucune équation, parvenir à une autre équation ne renfermant plus que l’une des deux inconnues qui entrent dans les proposées.

271. Si l’on avait trois équations (1) , (2), (3), renfermant les inconnues x, y et x, pour obtenir l’équation finale en z, c’est-àdire l’équation qui admettrait toutes les valeurs de l’inconnue z, susceptibles de vérifier les trois équations en même temps que

BSAGE DF. L’ÉintlJATIO*.

certaines valeurs de x et de y, il faudrait, en regardant y comme connu, éliminer x entre les équations (1) et (2), puis entre (1) * et (3), d’après la méthode du numéro 269 ; ce qui conduirait a deux équations en y et x , auxquelles on appliquerait la même méthode pour éliminer y.

Même raisonnement pour 4 équations à 4 inconnues, etc.

Pour le moment, nous nous bornerons à une seule application générale de la méthode d’élimination.