Soit proposé le problème suivant

Une équation du degré m à une seule inconnue étant donnée , on demande une autre équation dont les racines soient une combinaison déterminée de deux quelconques des racines de la proposée.

Soit xm + Pi”-< -f- Qx"'-3 + . . . + Tx + U = 0 , l’équation proposée ; appelons x', x", x"' ... . les racines'de cette équation, et désignons par u l’inconnue de l’équation qu’on veut former.

Si nous considérons deux quelconques des racines de la proposée , par exemple , x' et x", on doit avoir, par hypothèse , u = F (x', x"). . . .(1).

[La lettre F, qui s’énonce fonction de..., exprimant ici un certain système d’opérations qu’il faut effectuer sur les deux racines x’ et x" pour obtenir la valeur de u].

D’un autre côté, puisque x' et x" sont des racines de l’équation donnée , on doit avoir les deux relations

xm + Px'm— « + Qx'«-» + . . . . +TV + U = 0. , .(2), x"m + Px"m-« + Qx"'"-» + . . . . +Tx" + U = 0 . . .(8).

Les équations (1), (2) et (3), peuvent donc être regardées comme les équations du problème ; et toutes les fois que la nature de la combinaison ou fonction, exprimée par la lettre F, sera connue et définie , il suffira d’éliminer x' et x" entre ces trois équations. U équation finale en u sera l’équation demandée. En effet , le résultat ne renfermant plus aucune trace des deux racines particulières x' et x!', puisqu’on les aura éliminées, conviendra à toutes les racines x1, x", x'" . . ., et aura par conséquent pour racine une combinaison (exprimée par le caractère F ) de deux quelconques des racines de la proposée

FORMATION RE l'ÉQUATION AUX DIFFÉRENCES.

273. Cherchons , comme cas particulier de la question précédente , une équation dont les racines soient les différences entre deux quelconques des racines d’une équation donnée. C’est ce qu’on < appelle I’équation adx différences.

Solution. Soient xm + P-r"'— < + . . . — 0, l’équation proposée, x', x", x"' ... . ses m racines ; et appelons a la valeur d’une quelconque des différences

On a d’abord , en vertu de l’énoncé , cette première relation a = x" — x' . . . (1).

D’ailleurs, x' et x" étant des racines de la proposée, doivent y satisfaire, et donnent par conséquent,

x'm + Px''”— « +. . . . =j= 0. . . . (2), x"m + py»«— i + ....= 0 ... . (3) ; et il s’agirait (n° 272) d’éliminer x', x", entre les équations (1), (2) et (3). ; •.

Mais comme de la relation (1), on déduit x" = x' + a, d’où , substituant dans l’équation (3),

(x' -+• u)m + P(x' + a)™—1 + . . . . = 0. . . . (4), il s’ensuit que la question est ramenée à éliminer x' entre les équations (2) et (4).

Or, l’équation (4) développée prend (n° 203) la forme TJ

X' + Y'a + a3 + . . . . + um = 0 ;

et si l’on observe que X' n’est autrç chose que x,m + Px,m— •

expression qui doit être nulle d’après la rélatfon (2), la dernière équation, débarrassée du terme X' et divisée ensuite par a (voy. le N. B. du numéro actuel), se réduit à Z' V'

Donc enfin , l’équation cherchée résulte de l’élimination de x' entre les deux équations Z' = 0,

.Y' + a”— ss 0.

XlRtUTION

Ainsi , règle générale : Pour former l’équation aux différence » de s racine s d’une équation proposée, il faut éliminer x' entre l’équation X' = 0 qu’on déduit de la proposée en y remplaçant x par x’, et l’équation qui résulte de la substitution de x' + u à la place de x, cette résultante étant d’abord débarrassée de son dernier terme X', et divisée ensuite par u.

N. B. 1° Dans la pratique, on se dispense de mettre l’accent

sur la lettre x , c’est-à -dire qu’on élimine directement x entre

la proposée X = 0 , ou xm + Dx'”— 1 + . . . s= 0 , et l’équation

Y + u + . . • + um— 1 = 0, dans laquelle Y, sont compo-

ses

en x comme Y',

sont composés en x'.

Le résultat de l’éliminaticp est évidemment le même.

2° Après avoir posé dans l’équation X = 0,x + aàla place de x , ce qui donne

. + Um = 0,

on omet le terme X , comme formant le premier membre de la proposée , et l’on -obtient une nouvelle équation

dont tous les termes sont divisibles par u, ou, ce qui revient au même, qui est satisfaite paru = 0. Cela doit être, puisque parmi les différences entre les racines, il faut compter celle qui existe entre chaque racine el elle-même ; mais si l’on supprime ce facteur u , l’éc^ualion ne renferme plus alors que les différences entre l’une quelconque des racines et toutes les autres. Or ce sont les seules différences que nous avons besoin de considérer par la suite.

274. Soit, par exemple, à déterminer l’équation aux différences des racines de l’équation x3 — 6x — 7 = 0.

On a d’abord , en vertu de la loi de formation (n° 263),

DE l’ÉQIATIOU Al X DIFFtllEXCF.S. 401

ce qui donne les deux équations

entre lesquelles il faut éliminer x.

Si l’on applique à ces deux équations le procédé du n° 269, on obtient pour l’équation finale en u ,

C’est l’équation aux différences des racines de la proposée.